MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzsn Structured version   Unicode version

Theorem fzsn 11094
Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzsn  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )

Proof of Theorem fzsn
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1eq 11068 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... M )  ->  k  =  M )
2 elfz3 11067 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( M ... M
) )
3 eleq1 2496 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  M  e.  ( M ... M ) ) )
42, 3syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  =  M  -> 
k  e.  ( M ... M ) ) )
51, 4impbid2 196 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  k  =  M ) )
6 elsn 3829 . . 3  |-  ( k  e.  { M }  <->  k  =  M )
75, 6syl6bbr 255 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( M ... M )  <->  k  e.  { M } ) )
87eqrdv 2434 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3814  (class class class)co 6081   ZZcz 10282   ...cfz 11043
This theorem is referenced by:  fzsuc  11096  fzpr  11101  fzsuc2  11104  1fv  11120  elfzp12  11126  fzosn  11181  seqf1o  11364  hashsng  11647  sumsn  12534  fsum1  12535  fsumm1  12537  fsum1p  12539  ef0lem  12681  phi1  13162  4sqlem19  13331  vdwlem8  13356  strle1  13560  gsumws1  14785  psrbaglefi  16437  imasdsf1olem  18403  voliunlem1  19444  ply1termlem  20122  pntpbnd1  21280  0spth  21571  eupa0  21696  iuninc  24011  fzspl  24149  esumfzf  24459  ballotlemfc0  24750  ballotlemfcc  24751  subfac1  24864  subfacp1lem1  24865  subfacp1lem5  24870  subfacp1lem6  24871  cvmliftlem10  24981  prodsn  25286  fprod1  25287  fprod1p  25291  fprodabs  25297  fprodefsum  25298  binomfallfac  25357  sdclem1  26447  fdc  26449  sumsnd  27673  stoweidlem17  27742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-neg 9294  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044
  Copyright terms: Public domain W3C validator