Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzspl Unicode version

Theorem fzspl 23987
Description: Split the last element of a finite set of sequential integers. (more generic than fzsuc 11030) (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzspl  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { N } ) )

Proof of Theorem fzspl
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10430 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
21zcnd 10310 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  CC )
3 1z 10245 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  1  e.  ZZ )
54zcnd 10310 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  1  e.  CC )
62, 5npcand 9349 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
76eleq1d 2455 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) ) )
87ibir 234 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9 eluzelre 10431 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
109lem1d 9878 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  1 )  <_  N )
111, 4zsubcld 10314 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
12 eluz1 10426 . . . . 5  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1
) )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <_  N ) ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  <_  N )
) )
141, 10, 13mpbir2and 889 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
15 fzsplit2 11010 . . 3  |-  ( ( ( ( N  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  ( ( ( N  -  1 )  +  1 ) ... N ) ) )
168, 14, 15syl2anc 643 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  ( ( ( N  -  1 )  +  1 ) ... N ) ) )
176oveq1d 6037 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( N  -  1 )  +  1 ) ... N )  =  ( N ... N
) )
18 fzsn 11028 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N ... N )  =  { N } )
191, 18syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N ... N )  =  { N } )
2017, 19eqtrd 2421 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( N  -  1 )  +  1 ) ... N )  =  { N } )
2120uneq2d 3446 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  u.  ( ( ( N  -  1 )  +  1 ) ... N
) )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { N } ) )
2216, 21eqtrd 2421 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { N } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    u. cun 3263   {csn 3759   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   1c1 8926    + caddc 8928    <_ cle 9056    - cmin 9225   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422   ...cfz 10977
This theorem is referenced by:  ballotlemfp1  24530
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978
  Copyright terms: Public domain W3C validator