MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzsplit Structured version   Unicode version

Theorem fzsplit 11067
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... K )  u.  (
( K  +  1 ) ... N ) ) )

Proof of Theorem fzsplit
StepHypRef Expression
1 elfzuz 11045 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 peano2uz 10520 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
31, 2syl 16 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
4 elfzuz3 11046 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
5 fzsplit2 11066 . 2  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... K
)  u.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )
63, 4, 5syl2anc 643 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... K )  u.  (
( K  +  1 ) ... N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1c1 8981    + caddc 8983   ZZ>=cuz 10478   ...cfz 11033
This theorem is referenced by:  fzsuc  11086  elfzp12  11116  fsum1p  12529  o1fsum  12582  climcndslem1  12619  climcndslem2  12620  mertenslem1  12651  4sqlem19  13321  uniioombllem3  19467  iblcnlem1  19669  mtest  20310  birthdaylem2  20781  ftalem5  20849  chtdif  20931  ppidif  20936  lgsquadlem2  21129  pntpbnd2  21271  constr3trllem3  21629  esumpmono  24459  subfacp1lem1  24855  subfacp1lem5  24860  fprod1p  25281  fprodeq0  25289  axlowdimlem3  25848  axlowdimlem16  25861  axlowdimlem17  25862  fzsplit1nn0  26766  stoweidlem11  27691  stoweidlem26  27706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034
  Copyright terms: Public domain W3C validator