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Theorem fzsplit2 11076
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit2  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... K
)  u.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )

Proof of Theorem fzsplit2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11059 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
21zred 10375 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
3 eluzel2 10493 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  ZZ )
43adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  ZZ )
54zred 10375 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  RR )
6 lelttric 9180 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( x  <_  K  \/  K  <  x ) )
72, 5, 6syl2anr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  <_  K  \/  K  <  x ) )
8 elfzuz 11055 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9 elfz5 11051 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( M ... K )  <->  x  <_  K ) )
108, 4, 9syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( M ... K )  <-> 
x  <_  K )
)
11 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
12 eluzelz 10496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
14 eluz 10499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_  x ) )
1513, 1, 14syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_  x ) )
16 elfzuz3 11056 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
1716adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x ) )
18 elfzuzb 11053 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  /\  N  e.  (
ZZ>= `  x ) ) )
1918rbaib 874 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  x
)  ->  ( x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
)  <->  x  e.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) ) )
2017, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  <-> 
x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) ) )
21 zltp1le 10325 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( K  <  x  <->  ( K  +  1 )  <_  x ) )
224, 1, 21syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  <  x  <->  ( K  +  1 )  <_  x ) )
2315, 20, 223bitr4d 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  <-> 
K  <  x )
)
2410, 23orbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  ( M ... K
)  \/  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  <->  ( x  <_  K  \/  K  < 
x ) ) )
257, 24mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( M ... K )  \/  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )
26 elfzuz 11055 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... K )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2726adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... K ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
28 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
29 elfzuz3 11056 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... K )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  x )
)
30 uztrn 10502 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  x )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
3128, 29, 30syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... K ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x ) )
32 elfzuzb 11053 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  x ) ) )
3327, 31, 32sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( M ... K ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
34 elfzuz 11055 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
35 uztrn 10502 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  /\  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3634, 11, 35syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) )  ->  x  e.  (
ZZ>= `  M ) )
37 elfzuz3 11056 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
3837adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  x ) )
3936, 38, 32sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
4033, 39jaodan 761 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  /\  ( x  e.  ( M ... K )  \/  x  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
4125, 40impbida 806 . . 3  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  <->  ( x  e.  ( M ... K
)  \/  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ) ) )
42 elun 3488 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( M ... K )  u.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  <->  ( x  e.  ( M ... K
)  \/  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ) )
4341, 42syl6bbr 255 . 2  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  <->  x  e.  (
( M ... K
)  u.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) ) )
4443eqrdv 2434 1  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... K
)  u.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3318   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120    <_ cle 9121   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043
This theorem is referenced by:  fzsplit  11077  fsumharmonic  20850  dchrisum0lem1b  21209  dchrisum0lem1  21210  dchrisum0lem3  21213  pntrsumbnd2  21261  pntrlog2bndlem6a  21276  pntlemf  21299  usgraexvlem  21414  fzspl  24149  fallfacval4  25359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044
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