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Theorem fzsplit3 24155
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... ( K  -  1
) )  u.  ( K ... N ) ) )

Proof of Theorem fzsplit3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11064 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
21zred 10380 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
3 elfzelz 11064 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
43zred 10380 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  RR )
5 1re 9095 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  1  e.  RR )
74, 6resubcld 9470 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
8 lelttric 9185 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( K  -  1
)  e.  RR )  ->  ( x  <_ 
( K  -  1 )  \/  ( K  -  1 )  < 
x ) )
92, 7, 8syl2anr 466 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  <_  ( K  -  1 )  \/  ( K  - 
1 )  <  x
) )
10 elfzuz 11060 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 1z 10316 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  1  e.  ZZ )
133, 12zsubcld 10385 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
14 elfz5 11056 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  <-> 
x  <_  ( K  -  1 ) ) )
1510, 13, 14syl2anr 466 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  <-> 
x  <_  ( K  -  1 ) ) )
16 elfzuz3 11061 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
1716adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x ) )
18 elfzuzb 11058 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( K ... N )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  x ) ) )
1918rbaib 875 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  x
)  ->  ( x  e.  ( K ... N
)  <->  x  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
2017, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( K ... N )  <-> 
x  e.  ( ZZ>= `  K ) ) )
21 eluz 10504 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  K )  <->  K  <_  x ) )
223, 1, 21syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  (
ZZ>= `  K )  <->  K  <_  x ) )
23 zlem1lt 10332 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  x  <->  ( K  -  1 )  <  x ) )
243, 1, 23syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  <_  x  <->  ( K  -  1 )  <  x ) )
2520, 22, 243bitrd 272 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( K ... N )  <-> 
( K  -  1 )  <  x ) )
2615, 25orbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  \/  x  e.  ( K ... N
) )  <->  ( x  <_  ( K  -  1 )  \/  ( K  -  1 )  < 
x ) ) )
279, 26mpbird 225 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  \/  x  e.  ( K ... N ) ) )
28 elfzuz 11060 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... ( K  -  1
) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2928adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
30 elfzuz3 11061 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3130adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )
32 elfzuz3 11061 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( M ... ( K  -  1
) )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  x
) )
3332adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  -> 
( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  x ) )
34 peano2uz 10535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  x
)  ->  ( ( K  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  x )
)
3533, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  x ) )
364recnd 9119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  CC )
376recnd 9119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  1  e.  CC )
3836, 37npcand 9420 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( K  -  1 )  +  1 )  =  K )
3938eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( ( K  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  x )  <->  K  e.  ( ZZ>= `  x )
) )
4039adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( K  -  1 )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  x )  <->  K  e.  ( ZZ>= `  x )
) )
4135, 40mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  x ) )
42 uztrn 10507 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  x )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
4331, 41, 42syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x ) )
44 elfzuzb 11058 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  x ) ) )
4529, 43, 44sylanbrc 647 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
46 elfzuz 11060 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( K ... N )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)
47 elfzuz 11060 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
48 uztrn 10507 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4946, 47, 48syl2anr 466 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
50 elfzuz3 11061 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( K ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x )
)
5150adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  x ) )
5249, 51, 44sylanbrc 647 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
5345, 52jaodan 762 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... ( K  - 
1 ) )  \/  x  e.  ( K ... N ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
5427, 53impbida 807 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  \/  x  e.  ( K ... N
) ) ) )
55 elun 3490 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( M ... ( K  - 
1 ) )  u.  ( K ... N
) )  <->  ( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  \/  x  e.  ( K ... N
) ) )
5654, 55syl6bbr 256 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  x  e.  ( ( M ... ( K  -  1
) )  u.  ( K ... N ) ) ) )
5756eqrdv 2436 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  =  ( ( M ... ( K  -  1
) )  u.  ( K ... N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    u. cun 3320   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   1c1 8996    + caddc 8998    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048
This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  24791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049
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