MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzss1 Unicode version

Theorem fzss1 10922
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzss1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... N )  C_  ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 10886 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( K ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)
2 id 19 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3 uztrn 10336 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
41, 2, 3syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( K ... N
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5 elfzuz3 10887 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( K ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
65adantl 452 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( K ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
7 elfzuzb 10884 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... N )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
84, 6, 7sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( K ... N
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
98ex 423 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( K ... N
)  ->  k  e.  ( M ... N ) ) )
109ssrdv 3261 1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... N )  C_  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1710    C_ wss 3228   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   ZZ>=cuz 10322   ...cfz 10874
This theorem is referenced by:  fzp1ss  10929  fzoss1  10988  sermono  11170  seqsplit  11171  seqf1olem2  11178  seqz  11186  bcpasc  11426  seqcoll2  11498  mertenslem1  12437  structfn  13258  strleun  13335  efgsres  15146  efgredlemd  15152  efgredlem  15155  ply1termlem  19689  dvply1  19768  dvtaylp  19853  taylthlem2  19857  basellem5  20434  ppisval2  20454  ppiltx  20527  chtlepsi  20557  chtublem  20562  chpub  20571  chtppilimlem1  20734  pntlemq  20862  pntlemf  20866  fzssnn  23349  esumpmono  23735  ballotlem2  23995  ballotlemfc0  23999  ballotlemfcc  24000  ballotlemfrci  24034  ballotlemfrceq  24035  axlowdimlem16  25144  axlowdimlem17  25145  axlowdim  25148  fdc  25779  jm2.23  26412  stoweidlem11  27083
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-neg 9130  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875
  Copyright terms: Public domain W3C validator