MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzss1 Unicode version

Theorem fzss1 11051
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzss1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... N )  C_  ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 11015 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( K ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)
2 id 20 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3 uztrn 10462 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
41, 2, 3syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( K ... N
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5 elfzuz3 11016 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( K ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
65adantl 453 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( K ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
7 elfzuzb 11013 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... N )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
84, 6, 7sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( K ... N
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
98ex 424 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( K ... N
)  ->  k  e.  ( M ... N ) ) )
109ssrdv 3318 1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... N )  C_  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721    C_ wss 3284   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   ZZ>=cuz 10448   ...cfz 11003
This theorem is referenced by:  fzp1ss  11058  fzoss1  11121  sermono  11314  seqsplit  11315  seqf1olem2  11322  seqz  11330  bcpasc  11571  seqcoll2  11672  mertenslem1  12620  structfn  13441  strleun  13518  efgsres  15329  efgredlemd  15335  efgredlem  15338  ply1termlem  20079  dvply1  20158  dvtaylp  20243  taylthlem2  20247  basellem5  20824  ppisval2  20844  ppiltx  20917  chtlepsi  20947  chtublem  20952  chpub  20961  chtppilimlem1  21124  pntlemq  21252  pntlemf  21256  fzssnn  24104  esumpmono  24426  ballotlem2  24703  ballotlemfc0  24707  ballotlemfcc  24708  ballotlemfrci  24742  ballotlemfrceq  24743  binomfallfaclem2  25311  axlowdimlem16  25804  axlowdimlem17  25805  axlowdim  25808  fdc  26343  jm2.23  26961  stoweidlem11  27631  swrdswrd  28015  swrdccatin2  28022  swrdccatin12lem3c  28027  swrdccatin12  28030
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-neg 9254  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004
  Copyright terms: Public domain W3C validator