MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzss2 Unicode version

Theorem fzss2 10831
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzss2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M ... K )  C_  ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 10794 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... K )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
21adantl 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  k  e.  ( M ... K
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3 elfzuz3 10795 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... K )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  k )
)
4 uztrn 10244 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
53, 4sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  k  e.  ( M ... K
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
6 elfzuzb 10792 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... N )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
72, 5, 6sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  k  e.  ( M ... K
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
87ex 423 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( k  e.  ( M ... K
)  ->  k  e.  ( M ... N ) ) )
98ssrdv 3185 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M ... K )  C_  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  fzssp1  10834  fzoss2  10897  sermono  11078  seqsplit  11079  seqcaopr2  11082  seqf1olem2a  11084  seqf1olem2  11086  seqhomo  11093  seqz  11094  bcm1k  11327  seqcoll  11401  seqcoll2  11402  isercoll  12141  fsum0diaglem  12239  fsum0diag2  12245  cvgcmpce  12276  mertenslem1  12340  eulerthlem2  12850  pcfac  12947  vdwnnlem2  13043  strlemor1  13235  strleun  13238  gsumzaddlem  15203  imasdsf1olem  17937  plyaddlem1  19595  plymullem1  19596  coeeulem  19606  coeidlem  19619  coeid3  19622  coefv0  19629  coemulc  19636  vieta1lem2  19691  ppinprm  20390  chtnprm  20392  chpwordi  20395  chtublem  20450  bposlem1  20523  lgsquadlem3  20595  chebbnd1lem1  20618  vmadivsumb  20632  dchrvmasumiflem1  20650  mulog2sumlem2  20684  selbergb  20698  selberg2b  20701  chpdifbndlem1  20702  logdivbnd  20705  selberg3lem2  20707  pntrsumbnd  20715  pntlemq  20750  ballotlemimin  23064  ballotlemsdom  23070  ballotlemsel1i  23071  ballotlemsima  23074  ballotlemfrc  23085  ballotlemfrceq  23087  erdszelem7  23728  erdszelem8  23729  eupares  23899  eupath2lem3  23903  elfzm12  24008  predfz  24203  axlowdimlem16  24585  axlowdimlem17  24586  bpoly4  24794  mettrifi  26473  eldiophb  26836  eldioph2lem2  26840  diophrex  26855  fmul01  27710  fmulcl  27711  stoweidlem11  27760  stoweidlem17  27766  stoweidlem26  27775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
  Copyright terms: Public domain W3C validator