MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzss2 Structured version   Unicode version

Theorem fzss2 11094
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzss2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M ... K )  C_  ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 11057 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... K )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
21adantl 454 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  k  e.  ( M ... K
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3 elfzuz3 11058 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... K )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  k )
)
4 uztrn 10504 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
53, 4sylan2 462 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  k  e.  ( M ... K
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
6 elfzuzb 11055 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... N )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
72, 5, 6sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  k  e.  ( M ... K
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
87ex 425 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( k  e.  ( M ... K
)  ->  k  e.  ( M ... N ) ) )
98ssrdv 3356 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M ... K )  C_  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726    C_ wss 3322   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045
This theorem is referenced by:  fzssp1  11097  fzoss2  11165  sermono  11357  seqsplit  11358  seqcaopr2  11361  seqf1olem2a  11363  seqf1olem2  11365  seqhomo  11372  seqz  11373  bcm1k  11608  seqcoll  11714  seqcoll2  11715  isercoll  12463  fsum0diaglem  12562  fsum0diag2  12568  cvgcmpce  12599  mertenslem1  12663  eulerthlem2  13173  pcfac  13270  vdwnnlem2  13366  strlemor1  13558  strleun  13561  gsumzaddlem  15528  imasdsf1olem  18405  plyaddlem1  20134  plymullem1  20135  coeeulem  20145  coeidlem  20158  coeid3  20161  coefv0  20168  coemulc  20175  vieta1lem2  20230  ppinprm  20937  chtnprm  20939  chpwordi  20942  chtublem  20997  bposlem1  21070  lgsquadlem3  21142  chebbnd1lem1  21165  vmadivsumb  21179  dchrvmasumiflem1  21197  mulog2sumlem2  21231  selbergb  21245  selberg2b  21248  chpdifbndlem1  21249  logdivbnd  21252  selberg3lem2  21254  pntrsumbnd  21262  pntlemq  21297  eupares  21699  eupath2lem3  21703  ballotlemimin  24765  ballotlemsdom  24771  ballotlemsel1i  24772  ballotlemsima  24775  ballotlemfrc  24786  ballotlemfrceq  24788  erdszelem7  24885  erdszelem8  24886  elfzm12  25114  prodfn0  25224  prodfrec  25225  binomfallfaclem2  25358  predfz  25480  axlowdimlem16  25898  axlowdimlem17  25899  bpoly4  26107  mettrifi  26465  eldiophb  26817  eldioph2lem2  26821  diophrex  26836  fmul01  27688  fmulcl  27689  stoweidlem11  27738  stoweidlem17  27744  stoweidlem26  27753  elfzelfzadd  28121  swrdccatin12  28236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-neg 9296  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046
  Copyright terms: Public domain W3C validator