MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzss2 Unicode version

Theorem fzss2 10847
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzss2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M ... K )  C_  ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 10810 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... K )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
21adantl 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  k  e.  ( M ... K
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3 elfzuz3 10811 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... K )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  k )
)
4 uztrn 10260 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  k )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
53, 4sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  k  e.  ( M ... K
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  k )
)
6 elfzuzb 10808 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... N )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
72, 5, 6sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  k  e.  ( M ... K
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
87ex 423 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( k  e.  ( M ... K
)  ->  k  e.  ( M ... N ) ) )
98ssrdv 3198 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M ... K )  C_  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798
This theorem is referenced by:  fzssp1  10850  fzoss2  10913  sermono  11094  seqsplit  11095  seqcaopr2  11098  seqf1olem2a  11100  seqf1olem2  11102  seqhomo  11109  seqz  11110  bcm1k  11343  seqcoll  11417  seqcoll2  11418  isercoll  12157  fsum0diaglem  12255  fsum0diag2  12261  cvgcmpce  12292  mertenslem1  12356  eulerthlem2  12866  pcfac  12963  vdwnnlem2  13059  strlemor1  13251  strleun  13254  gsumzaddlem  15219  imasdsf1olem  17953  plyaddlem1  19611  plymullem1  19612  coeeulem  19622  coeidlem  19635  coeid3  19638  coefv0  19645  coemulc  19652  vieta1lem2  19707  ppinprm  20406  chtnprm  20408  chpwordi  20411  chtublem  20466  bposlem1  20539  lgsquadlem3  20611  chebbnd1lem1  20634  vmadivsumb  20648  dchrvmasumiflem1  20666  mulog2sumlem2  20700  selbergb  20714  selberg2b  20717  chpdifbndlem1  20718  logdivbnd  20721  selberg3lem2  20723  pntrsumbnd  20731  pntlemq  20766  ballotlemimin  23080  ballotlemsdom  23086  ballotlemsel1i  23087  ballotlemsima  23090  ballotlemfrc  23101  ballotlemfrceq  23103  erdszelem7  23743  erdszelem8  23744  eupares  23914  eupath2lem3  23918  elfzm12  24023  predfz  24274  axlowdimlem16  24657  axlowdimlem17  24658  bpoly4  24866  mettrifi  26576  eldiophb  26939  eldioph2lem2  26943  diophrex  26958  fmul01  27813  fmulcl  27814  stoweidlem11  27863  stoweidlem17  27869  stoweidlem26  27878
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799
  Copyright terms: Public domain W3C validator