MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzssp1 Unicode version

Theorem fzssp1 10850
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzssp1  |-  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) )

Proof of Theorem fzssp1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzel2 10812 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
2 uzid 10258 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4 peano2uz 10288 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
5 fzss2 10847 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
63, 4, 53syl 18 . . 3  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
7 id 19 . . 3  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
86, 7sseldd 3194 . 2  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
98ssriv 3197 1  |-  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754    + caddc 8756   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798
This theorem is referenced by:  fzelp1  10854  fseq1p1m1  10873  fzm1  10878  monoord2  11093  seqf1olem1  11101  seqf1olem2  11102  seqz  11110  binomlem  12303  binom1dif  12307  1stcfb  17187  cvmliftlem7  23837  axlowdimlem13  24654  axlowdimlem16  24657  bpolycl  24859  bpolysum  24860  bpolydiflem  24861  bpoly4  24866  sdclem2  26555  fdc  26558  mettrifi  26576  mapfzcons1cl  26898  2rexfrabdioph  26980  3rexfrabdioph  26981  4rexfrabdioph  26982  6rexfrabdioph  26983  7rexfrabdioph  26984  rabdiophlem2  26986  jm2.27dlem5  27209  stoweidlem11  27863  stoweidlem34  27886
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799
  Copyright terms: Public domain W3C validator