MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fztp Unicode version

Theorem fztp 10857
Description: A finite interval of integers with three elements. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fztp  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  + 
2 ) )  =  { M ,  ( M  +  1 ) ,  ( M  + 
2 ) } )

Proof of Theorem fztp
StepHypRef Expression
1 uzid 10258 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 peano2uz 10288 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3 fzsuc 10851 . . 3  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( ( M  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( M  +  1 ) )  u.  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) } ) )
41, 2, 33syl 18 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( ( M  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( M  +  1
) )  u.  {
( ( M  + 
1 )  +  1 ) } ) )
5 zcn 10045 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
6 ax-1cn 8811 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
7 addass 8840 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) ) )
86, 6, 7mp3an23 1269 . . . . 5  |-  ( M  e.  CC  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) ) )
95, 8syl 15 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) ) )
10 df-2 9820 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1110oveq2i 5885 . . . 4  |-  ( M  +  2 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) )
129, 11syl6eqr 2346 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  + 
2 ) )
1312oveq2d 5890 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( ( M  +  1 )  +  1 ) )  =  ( M ... ( M  +  2 ) ) )
14 fzpr 10856 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  + 
1 ) )  =  { M ,  ( M  +  1 ) } )
1512sneqd 3666 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) }  =  { ( M  +  2 ) } )
1614, 15uneq12d 3343 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M ... ( M  +  1 ) )  u.  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) } )  =  ( { M ,  ( M  +  1 ) }  u.  { ( M  +  2 ) } ) )
17 df-tp 3661 . . 3  |-  { M ,  ( M  + 
1 ) ,  ( M  +  2 ) }  =  ( { M ,  ( M  +  1 ) }  u.  { ( M  +  2 ) } )
1816, 17syl6eqr 2346 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M ... ( M  +  1 ) )  u.  { ( ( M  +  1 )  +  1 ) } )  =  { M ,  ( M  +  1 ) ,  ( M  +  2 ) } )
194, 13, 183eqtr3d 2336 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  + 
2 ) )  =  { M ,  ( M  +  1 ) ,  ( M  + 
2 ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    u. cun 3163   {csn 3653   {cpr 3654   {ctp 3655   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   1c1 8754    + caddc 8756   2c2 9811   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798
This theorem is referenced by:  fztpval  10861  1cubr  20154  rabren3dioph  27001  fzo0to3tp  28210  usgraexvlem  28261  wlkntrllem3  28347
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799
  Copyright terms: Public domain W3C validator