MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fztpval Structured version   Unicode version

Theorem fztpval 11107
Description: Two ways of defining the first three values of a sequence on 
NN. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fztpval  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 3 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  <->  ( ( F `  1 )  =  A  /\  ( F `  2 )  =  B  /\  ( F `  3 )  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, F

Proof of Theorem fztpval
StepHypRef Expression
1 1z 10311 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
2 fztp 11102 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( 1  +  2 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) } )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 1 ... ( 1  +  2 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) }
4 df-3 10059 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
5 2cn 10070 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
6 ax-1cn 9048 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
75, 6addcomi 9257 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  ( 1  +  2 )
84, 7eqtri 2456 . . . . 5  |-  3  =  ( 1  +  2 )
98oveq2i 6092 . . . 4  |-  ( 1 ... 3 )  =  ( 1 ... (
1  +  2 ) )
10 tpeq3 3894 . . . . . 6  |-  ( 3  =  ( 1  +  2 )  ->  { 1 ,  2 ,  3 }  =  { 1 ,  2 ,  ( 1  +  2 ) } )
118, 10ax-mp 8 . . . . 5  |-  { 1 ,  2 ,  3 }  =  { 1 ,  2 ,  ( 1  +  2 ) }
12 df-2 10058 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
13 tpeq2 3893 . . . . . 6  |-  ( 2  =  ( 1  +  1 )  ->  { 1 ,  2 ,  ( 1  +  2 ) }  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) } )
1412, 13ax-mp 8 . . . . 5  |-  { 1 ,  2 ,  ( 1  +  2 ) }  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) }
1511, 14eqtri 2456 . . . 4  |-  { 1 ,  2 ,  3 }  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) }
163, 9, 153eqtr4i 2466 . . 3  |-  ( 1 ... 3 )  =  { 1 ,  2 ,  3 }
1716raleqi 2908 . 2  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 3 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  <->  A. x  e.  { 1 ,  2 ,  3 }  ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C
) ) )
18 1ex 9086 . . 3  |-  1  e.  _V
195elexi 2965 . . 3  |-  2  e.  _V
20 3re 10071 . . . 4  |-  3  e.  RR
2120elexi 2965 . . 3  |-  3  e.  _V
22 fveq2 5728 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
23 iftrue 3745 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  =  A )
2422, 23eqeq12d 2450 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( F `  x
)  =  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  <->  ( F ` 
1 )  =  A ) )
25 fveq2 5728 . . . 4  |-  ( x  =  2  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
2 ) )
26 1re 9090 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
27 1lt2 10142 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
2826, 27gtneii 9185 . . . . . . 7  |-  2  =/=  1
29 neeq1 2609 . . . . . . 7  |-  ( x  =  2  ->  (
x  =/=  1  <->  2  =/=  1 ) )
3028, 29mpbiri 225 . . . . . 6  |-  ( x  =  2  ->  x  =/=  1 )
31 ifnefalse 3747 . . . . . 6  |-  ( x  =/=  1  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  =  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )
3230, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( x  =  2  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  =  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )
33 iftrue 3745 . . . . 5  |-  ( x  =  2  ->  if ( x  =  2 ,  B ,  C )  =  B )
3432, 33eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( x  =  2  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  =  B )
3525, 34eqeq12d 2450 . . 3  |-  ( x  =  2  ->  (
( F `  x
)  =  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  <->  ( F ` 
2 )  =  B ) )
36 fveq2 5728 . . . 4  |-  ( x  =  3  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
3 ) )
37 1lt3 10144 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
3826, 37gtneii 9185 . . . . . . 7  |-  3  =/=  1
39 neeq1 2609 . . . . . . 7  |-  ( x  =  3  ->  (
x  =/=  1  <->  3  =/=  1 ) )
4038, 39mpbiri 225 . . . . . 6  |-  ( x  =  3  ->  x  =/=  1 )
4140, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( x  =  3  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  =  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )
42 2re 10069 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
43 2lt3 10143 . . . . . . . 8  |-  2  <  3
4442, 43gtneii 9185 . . . . . . 7  |-  3  =/=  2
45 neeq1 2609 . . . . . . 7  |-  ( x  =  3  ->  (
x  =/=  2  <->  3  =/=  2 ) )
4644, 45mpbiri 225 . . . . . 6  |-  ( x  =  3  ->  x  =/=  2 )
47 ifnefalse 3747 . . . . . 6  |-  ( x  =/=  2  ->  if ( x  =  2 ,  B ,  C )  =  C )
4846, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( x  =  3  ->  if ( x  =  2 ,  B ,  C )  =  C )
4941, 48eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( x  =  3  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  =  C )
5036, 49eqeq12d 2450 . . 3  |-  ( x  =  3  ->  (
( F `  x
)  =  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  <->  ( F ` 
3 )  =  C ) )
5118, 19, 21, 24, 35, 50raltp 3863 . 2  |-  ( A. x  e.  { 1 ,  2 ,  3 }  ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  <->  ( ( F `
 1 )  =  A  /\  ( F `
 2 )  =  B  /\  ( F `
 3 )  =  C ) )
5217, 51bitri 241 1  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 3 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  if ( x  =  2 ,  B ,  C ) )  <->  ( ( F `  1 )  =  A  /\  ( F `  2 )  =  B  /\  ( F `  3 )  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   ifcif 3739   {ctp 3816   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   1c1 8991    + caddc 8993   2c2 10049   3c3 10050   ZZcz 10282   ...cfz 11043
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044
  Copyright terms: Public domain W3C validator