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Theorem gaass 14961
Description: An "associative" property for group actions. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gaass.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gaass.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
gaass  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  Y )
)  ->  ( ( A  .+  B )  .(+)  C )  =  ( A 
.(+)  ( B  .(+)  C ) ) )

Proof of Theorem gaass
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gaass.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 gaass.2 . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2366 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
41, 2, 3isga 14955 . . . . . . 7  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <-> 
( ( G  e. 
Grp  /\  Y  e.  _V )  /\  (  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  A. x  e.  Y  ( ( ( 0g `  G )  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
)  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) ) ) ) )
54simprbi 450 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  (  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  A. x  e.  Y  ( (
( 0g `  G
)  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) ) )
65simprd 449 . . . . 5  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  A. x  e.  Y  ( ( ( 0g
`  G )  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
)  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) ) )
7 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 0g `  G )  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
)  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) )  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y  .+  z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x )
) )
87ralimi 2703 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  Y  (
( ( 0g `  G )  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
)  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) )  ->  A. x  e.  Y  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y  .+  z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x )
) )
96, 8syl 15 . . . 4  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  A. x  e.  Y  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y  .+  z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x )
) )
10 oveq2 5989 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( y  .+  z
)  .(+)  x )  =  ( ( y  .+  z )  .(+)  C ) )
11 oveq2 5989 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
z  .(+)  x )  =  ( z  .(+)  C ) )
1211oveq2d 5997 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
y  .(+)  ( z  .(+)  x ) )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  C ) ) )
1310, 12eqeq12d 2380 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( y  .+  z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x )
)  <->  ( ( y 
.+  z )  .(+)  C )  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  C ) ) ) )
14 oveq1 5988 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
y  .+  z )  =  ( A  .+  z ) )
1514oveq1d 5996 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  .+  z
)  .(+)  C )  =  ( ( A  .+  z )  .(+)  C ) )
16 oveq1 5988 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
y  .(+)  ( z  .(+)  C ) )  =  ( A  .(+)  ( z  .(+)  C ) ) )
1715, 16eqeq12d 2380 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( y  .+  z )  .(+)  C )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  C )
)  <->  ( ( A 
.+  z )  .(+)  C )  =  ( A 
.(+)  ( z  .(+)  C ) ) ) )
18 oveq2 5989 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  ( A  .+  z )  =  ( A  .+  B
) )
1918oveq1d 5996 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
( A  .+  z
)  .(+)  C )  =  ( ( A  .+  B )  .(+)  C ) )
20 oveq1 5988 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  (
z  .(+)  C )  =  ( B  .(+)  C ) )
2120oveq2d 5997 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  ( A  .(+)  ( z  .(+)  C ) )  =  ( A  .(+)  ( B  .(+) 
C ) ) )
2219, 21eqeq12d 2380 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  (
( ( A  .+  z )  .(+)  C )  =  ( A  .(+)  ( z  .(+)  C )
)  <->  ( ( A 
.+  B )  .(+)  C )  =  ( A 
.(+)  ( B  .(+)  C ) ) ) )
2313, 17, 22rspc3v 2978 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Y  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  Y  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z )  .(+)  x )  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  x ) )  ->  (
( A  .+  B
)  .(+)  C )  =  ( A  .(+)  ( B 
.(+)  C ) ) ) )
249, 23syl5 28 . . 3  |-  ( ( C  e.  Y  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  -> 
( ( A  .+  B )  .(+)  C )  =  ( A  .(+)  ( B  .(+)  C )
) ) )
25243coml 1159 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  Y )  ->  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  -> 
( ( A  .+  B )  .(+)  C )  =  ( A  .(+)  ( B  .(+)  C )
) ) )
2625impcom 419 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  Y )
)  ->  ( ( A  .+  B )  .(+)  C )  =  ( A 
.(+)  ( B  .(+)  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   _Vcvv 2873    X. cxp 4790   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   +g cplusg 13416   0gc0g 13610   Grpcgrp 14572    GrpAct cga 14953
This theorem is referenced by:  gass  14965  gasubg  14966  galcan  14968  gacan  14969  gaorber  14972  gastacl  14973  gastacos  14974  galactghm  14993
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-map 6917  df-ga 14954
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