Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gacan Unicode version

Theorem gacan 14759
 Description: Group inverses cancel in a group action. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
galcan.1
gacan.2
Assertion
Ref Expression
gacan

Proof of Theorem gacan
StepHypRef Expression
1 gagrp 14746 . . . . . . . 8
21adantr 451 . . . . . . 7
3 simpr1 961 . . . . . . 7
4 galcan.1 . . . . . . . 8
5 eqid 2283 . . . . . . . 8
6 eqid 2283 . . . . . . . 8
7 gacan.2 . . . . . . . 8
84, 5, 6, 7grprinv 14529 . . . . . . 7
92, 3, 8syl2anc 642 . . . . . 6
109oveq1d 5873 . . . . 5
11 simpl 443 . . . . . 6
124, 7grpinvcl 14527 . . . . . . 7
132, 3, 12syl2anc 642 . . . . . 6
14 simpr3 963 . . . . . 6
154, 5gaass 14751 . . . . . 6
1611, 3, 13, 14, 15syl13anc 1184 . . . . 5
176gagrpid 14748 . . . . . 6
1811, 14, 17syl2anc 642 . . . . 5
1910, 16, 183eqtr3d 2323 . . . 4
2019eqeq2d 2294 . . 3
21 simpr2 962 . . . 4
224gaf 14749 . . . . . 6
2322adantr 451 . . . . 5
24 fovrn 5990 . . . . 5
2523, 13, 14, 24syl3anc 1182 . . . 4
264galcan 14758 . . . 4
2711, 3, 21, 25, 26syl13anc 1184 . . 3
2820, 27bitr3d 246 . 2
29 eqcom 2285 . 2
3028, 29syl6bb 252 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   cxp 4687  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cbs 13148   cplusg 13208  c0g 13400  cgrp 14362  cminusg 14363   cga 14743 This theorem is referenced by:  gapm  14760  gaorber  14762  gastacl  14763  gastacos  14764 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-map 6774  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-ga 14744
 Copyright terms: Public domain W3C validator