MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gafo Unicode version

Theorem gafo 15000
Description: A group action is onto its base set. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gaf.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gafo  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) -onto-> Y )

Proof of Theorem gafo
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gaf.1 . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
21gaf 14999 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
3 gagrp 14996 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
43adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  G  e.  Grp )
5 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
61, 5grpidcl 14760 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
8 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  Y )
95gagrpid 14998 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  x )  =  x )
109eqcomd 2392 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  x  =  ( ( 0g
`  G )  .(+)  x ) )
11 rspceov 6055 . . . 4  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  x  e.  Y  /\  x  =  ( ( 0g `  G )  .(+)  x ) )  ->  E. y  e.  X  E. z  e.  Y  x  =  ( y  .(+)  z ) )
127, 8, 10, 11syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  E. y  e.  X  E. z  e.  Y  x  =  ( y  .(+)  z ) )
1312ralrimiva 2732 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  A. x  e.  Y  E. y  e.  X  E. z  e.  Y  x  =  ( y  .(+)  z ) )
14 foov 6159 . 2  |-  (  .(+)  : ( X  X.  Y
) -onto-> Y  <->  (  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  A. x  e.  Y  E. y  e.  X  E. z  e.  Y  x  =  ( y  .(+)  z ) ) )
152, 13, 14sylanbrc 646 1  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) -onto-> Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650    X. cxp 4816   -->wf 5390   -onto->wfo 5392   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   0gc0g 13650   Grpcgrp 14612    GrpAct cga 14993
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-fo 5400  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-map 6956  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-ga 14994
  Copyright terms: Public domain W3C validator