MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gafo Structured version   Unicode version

Theorem gafo 15065
Description: A group action is onto its base set. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gaf.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gafo  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) -onto-> Y )

Proof of Theorem gafo
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gaf.1 . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
21gaf 15064 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
3 gagrp 15061 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
43adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  G  e.  Grp )
5 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
61, 5grpidcl 14825 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
8 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  Y )
95gagrpid 15063 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  x )  =  x )
109eqcomd 2440 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  x  =  ( ( 0g
`  G )  .(+)  x ) )
11 rspceov 6108 . . . 4  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  x  e.  Y  /\  x  =  ( ( 0g `  G )  .(+)  x ) )  ->  E. y  e.  X  E. z  e.  Y  x  =  ( y  .(+)  z ) )
127, 8, 10, 11syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  E. y  e.  X  E. z  e.  Y  x  =  ( y  .(+)  z ) )
1312ralrimiva 2781 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  A. x  e.  Y  E. y  e.  X  E. z  e.  Y  x  =  ( y  .(+)  z ) )
14 foov 6212 . 2  |-  (  .(+)  : ( X  X.  Y
) -onto-> Y  <->  (  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  A. x  e.  Y  E. y  e.  X  E. z  e.  Y  x  =  ( y  .(+)  z ) ) )
152, 13, 14sylanbrc 646 1  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) -onto-> Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    X. cxp 4868   -->wf 5442   -onto->wfo 5444   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677    GrpAct cga 15058
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fo 5452  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-map 7012  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-ga 15059
  Copyright terms: Public domain W3C validator