Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  galactghm Unicode version

Theorem galactghm 14783
 Description: The currying of a group action is a group homomorphism between the group and the symetry group . (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
galactghm.x
galactghm.h
galactghm.f
Assertion
Ref Expression
galactghm
Distinct variable groups:   ,,   , ,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem galactghm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 galactghm.x . 2
2 eqid 2283 . 2
3 eqid 2283 . 2
4 eqid 2283 . 2
5 gagrp 14746 . 2
6 gaset 14747 . . 3
7 galactghm.h . . . 4
87symggrp 14780 . . 3
96, 8syl 15 . 2
10 eqid 2283 . . . . 5
111, 10gapm 14760 . . . 4
126adantr 451 . . . . 5
137, 2elsymgbas 14774 . . . . 5
1412, 13syl 15 . . . 4
1511, 14mpbird 223 . . 3
16 galactghm.f . . 3
1715, 16fmptd 5684 . 2
18 df-3an 936 . . . . . 6
191, 3gaass 14751 . . . . . 6
2018, 19sylan2br 462 . . . . 5
2120anassrs 629 . . . 4
2221mpteq2dva 4106 . . 3
235adantr 451 . . . . 5
24 simprl 732 . . . . 5
25 simprr 733 . . . . 5
261, 3grpcl 14495 . . . . 5
2723, 24, 25, 26syl3anc 1182 . . . 4
286adantr 451 . . . . 5
29 mptexg 5745 . . . . 5
3028, 29syl 15 . . . 4
31 oveq1 5865 . . . . . 6
3231mpteq2dv 4107 . . . . 5
3332, 16fvmptg 5600 . . . 4
3427, 30, 33syl2anc 642 . . 3
3517adantr 451 . . . . . 6
36 ffvelrn 5663 . . . . . 6
3735, 24, 36syl2anc 642 . . . . 5
38 ffvelrn 5663 . . . . . 6
3935, 25, 38syl2anc 642 . . . . 5
407, 2, 4symgov 14777 . . . . 5
4137, 39, 40syl2anc 642 . . . 4
421gaf 14749 . . . . . . 7
4342ad2antrr 706 . . . . . 6
4425adantr 451 . . . . . 6
45 simpr 447 . . . . . 6
46 fovrn 5990 . . . . . 6
4743, 44, 45, 46syl3anc 1182 . . . . 5
48 mptexg 5745 . . . . . . 7
4928, 48syl 15 . . . . . 6
50 oveq1 5865 . . . . . . . 8
5150mpteq2dv 4107 . . . . . . 7
5251, 16fvmptg 5600 . . . . . 6
5325, 49, 52syl2anc 642 . . . . 5
54 mptexg 5745 . . . . . . . 8
5528, 54syl 15 . . . . . . 7
56 oveq1 5865 . . . . . . . . 9
5756mpteq2dv 4107 . . . . . . . 8
5857, 16fvmptg 5600 . . . . . . 7
5924, 55, 58syl2anc 642 . . . . . 6
60 oveq2 5866 . . . . . . 7
6160cbvmptv 4111 . . . . . 6
6259, 61syl6eq 2331 . . . . 5
63 oveq2 5866 . . . . 5
6447, 53, 62, 63fmptco 5691 . . . 4
6541, 64eqtrd 2315 . . 3
6622, 34, 653eqtr4d 2325 . 2
671, 2, 3, 4, 5, 9, 17, 66isghmd 14692 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   cmpt 4077   cxp 4687   ccom 4693  wf 5251  wf1o 5254  cfv 5255  (class class class)co 5858  cbs 13148   cplusg 13208  cgrp 14362   cghm 14680   cga 14743  csymg 14769 This theorem is referenced by:  cayleylem1  14787  curgrpact  24784 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-tset 13227  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-ghm 14681  df-ga 14744  df-symg 14770
 Copyright terms: Public domain W3C validator