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Theorem galactghm 15026
Description: The currying of a group action is a group homomorphism between the group  G and the symetry group  ( SymGrp `  Y
). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
galactghm.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
galactghm.h  |-  H  =  ( SymGrp `  Y )
galactghm.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
galactghm  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x,  .(+) , y    x, X, y    x, H    x, Y, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    H( y)

Proof of Theorem galactghm
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 galactghm.x . 2  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2380 . 2  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
3 eqid 2380 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2380 . 2  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
5 gagrp 14989 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
6 gaset 14990 . . 3  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  Y  e.  _V )
7 galactghm.h . . . 4  |-  H  =  ( SymGrp `  Y )
87symggrp 15023 . . 3  |-  ( Y  e.  _V  ->  H  e.  Grp )
96, 8syl 16 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  H  e.  Grp )
10 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( x 
.(+)  y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) )
111, 10gapm 15003 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
) : Y -1-1-onto-> Y )
126adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  X )  ->  Y  e.  _V )
137, 2elsymgbas 15017 . . . . 5  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) )  e.  ( Base `  H )  <->  ( y  e.  Y  |->  ( x 
.(+)  y ) ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) )  e.  ( Base `  H )  <->  ( y  e.  Y  |->  ( x 
.(+)  y ) ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
1511, 14mpbird 224 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
)  e.  ( Base `  H ) )
16 galactghm.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) ) )
1715, 16fmptd 5825 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  F : X --> ( Base `  H )
)
18 df-3an 938 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X  /\  y  e.  Y )  <->  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  y  e.  Y ) )
191, 3gaass 14994 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( (
z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y )  =  ( z 
.(+)  ( w  .(+)  y ) ) )
2018, 19sylan2br 463 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z ( +g  `  G ) w )  .(+)  y )  =  ( z  .(+)  ( w  .(+)  y )
) )
2120anassrs 630 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( z ( +g  `  G ) w ) 
.(+)  y )  =  ( z  .(+)  ( w 
.(+)  y ) ) )
2221mpteq2dva 4229 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  ( w  .(+) 
y ) ) ) )
235adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  G  e.  Grp )
24 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  z  e.  X )
25 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  w  e.  X )
261, 3grpcl 14738 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( z ( +g  `  G ) w )  e.  X )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( z
( +g  `  G ) w )  e.  X
)
286adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  Y  e.  _V )
29 mptexg 5897 . . . . 5  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G ) w ) 
.(+)  y ) )  e.  _V )
3028, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) )  e.  _V )
31 oveq1 6020 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( z ( +g  `  G ) w )  ->  (
x  .(+)  y )  =  ( ( z ( +g  `  G ) w )  .(+)  y ) )
3231mpteq2dv 4230 . . . . 5  |-  ( x  =  ( z ( +g  `  G ) w )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) ) )
3332, 16fvmptg 5736 . . . 4  |-  ( ( ( z ( +g  `  G ) w )  e.  X  /\  (
y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G ) w ) 
.(+)  y ) )  e.  _V )  -> 
( F `  (
z ( +g  `  G
) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) ) )
3427, 30, 33syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  ( z ( +g  `  G ) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) ) )
3517adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  F : X
--> ( Base `  H
) )
3635, 24ffvelrnd 5803 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  z )  e.  (
Base `  H )
)
3735, 25ffvelrnd 5803 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  w )  e.  (
Base `  H )
)
387, 2, 4symgov 15020 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  ( Base `  H )  /\  ( F `  w )  e.  ( Base `  H
) )  ->  (
( F `  z
) ( +g  `  H
) ( F `  w ) )  =  ( ( F `  z )  o.  ( F `  w )
) )
3936, 37, 38syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )
( +g  `  H ) ( F `  w
) )  =  ( ( F `  z
)  o.  ( F `
 w ) ) )
401gaf 14992 . . . . . . 7  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
4140ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
4225adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  w  e.  X )
43 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
4441, 42, 43fovrnd 6150 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
w  .(+)  y )  e.  Y )
45 mptexg 5897 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
y  e.  Y  |->  ( w  .(+)  y )
)  e.  _V )
4628, 45syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( w 
.(+)  y ) )  e.  _V )
47 oveq1 6020 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
x  .(+)  y )  =  ( w  .(+)  y ) )
4847mpteq2dv 4230 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( w 
.(+)  y ) ) )
4948, 16fvmptg 5736 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  X  /\  ( y  e.  Y  |->  ( w  .(+)  y ) )  e.  _V )  ->  ( F `  w
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( w 
.(+)  y ) ) )
5025, 46, 49syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  w )  =  ( y  e.  Y  |->  ( w  .(+)  y )
) )
51 mptexg 5897 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  y )
)  e.  _V )
5228, 51syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( z 
.(+)  y ) )  e.  _V )
53 oveq1 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  .(+)  y )  =  ( z  .(+)  y ) )
5453mpteq2dv 4230 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( z 
.(+)  y ) ) )
5554, 16fvmptg 5736 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  y ) )  e.  _V )  ->  ( F `  z
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( z 
.(+)  y ) ) )
5624, 52, 55syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  z )  =  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  y )
) )
57 oveq2 6021 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
z  .(+)  y )  =  ( z  .(+)  x ) )
5857cbvmptv 4234 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Y  |->  ( z 
.(+)  y ) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( z  .(+)  x ) )
5956, 58syl6eq 2428 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  z )  =  ( x  e.  Y  |->  ( z  .(+)  x )
) )
60 oveq2 6021 . . . . 5  |-  ( x  =  ( w  .(+)  y )  ->  ( z  .(+)  x )  =  ( z  .(+)  ( w  .(+) 
y ) ) )
6144, 50, 59, 60fmptco 5833 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )  o.  ( F `  w
) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  ( w  .(+) 
y ) ) ) )
6239, 61eqtrd 2412 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )
( +g  `  H ) ( F `  w
) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  ( w  .(+) 
y ) ) ) )
6322, 34, 623eqtr4d 2422 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  ( z ( +g  `  G ) w ) )  =  ( ( F `  z ) ( +g  `  H
) ( F `  w ) ) )
641, 2, 3, 4, 5, 9, 17, 63isghmd 14935 1  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892    e. cmpt 4200    X. cxp 4809    o. ccom 4815   -->wf 5383   -1-1-onto->wf1o 5386   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   Grpcgrp 14605    GrpHom cghm 14923    GrpAct cga 14986   SymGrpcsymg 15012
This theorem is referenced by:  cayleylem1  15030
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-plusg 13462  df-tset 13468  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-ghm 14924  df-ga 14987  df-symg 15013
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