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Theorem galactghm 15099
Description: The currying of a group action is a group homomorphism between the group  G and the symetry group  ( SymGrp `  Y
). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
galactghm.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
galactghm.h  |-  H  =  ( SymGrp `  Y )
galactghm.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
galactghm  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x,  .(+) , y    x, X, y    x, H    x, Y, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    H( y)

Proof of Theorem galactghm
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 galactghm.x . 2  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2436 . 2  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
3 eqid 2436 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 eqid 2436 . 2  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
5 gagrp 15062 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
6 gaset 15063 . . 3  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  Y  e.  _V )
7 galactghm.h . . . 4  |-  H  =  ( SymGrp `  Y )
87symggrp 15096 . . 3  |-  ( Y  e.  _V  ->  H  e.  Grp )
96, 8syl 16 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  H  e.  Grp )
10 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( x 
.(+)  y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) )
111, 10gapm 15076 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
) : Y -1-1-onto-> Y )
126adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  X )  ->  Y  e.  _V )
137, 2elsymgbas 15090 . . . . 5  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) )  e.  ( Base `  H )  <->  ( y  e.  Y  |->  ( x 
.(+)  y ) ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) )  e.  ( Base `  H )  <->  ( y  e.  Y  |->  ( x 
.(+)  y ) ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
1511, 14mpbird 224 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
)  e.  ( Base `  H ) )
16 galactghm.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y ) ) )
1715, 16fmptd 5886 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  F : X --> ( Base `  H )
)
18 df-3an 938 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X  /\  y  e.  Y )  <->  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  y  e.  Y ) )
191, 3gaass 15067 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( (
z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y )  =  ( z 
.(+)  ( w  .(+)  y ) ) )
2018, 19sylan2br 463 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z ( +g  `  G ) w )  .(+)  y )  =  ( z  .(+)  ( w  .(+)  y )
) )
2120anassrs 630 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( z ( +g  `  G ) w ) 
.(+)  y )  =  ( z  .(+)  ( w 
.(+)  y ) ) )
2221mpteq2dva 4288 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  ( w  .(+) 
y ) ) ) )
235adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  G  e.  Grp )
24 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  z  e.  X )
25 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  w  e.  X )
261, 3grpcl 14811 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( z ( +g  `  G ) w )  e.  X )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( z
( +g  `  G ) w )  e.  X
)
286adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  Y  e.  _V )
29 mptexg 5958 . . . . 5  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G ) w ) 
.(+)  y ) )  e.  _V )
3028, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) )  e.  _V )
31 oveq1 6081 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( z ( +g  `  G ) w )  ->  (
x  .(+)  y )  =  ( ( z ( +g  `  G ) w )  .(+)  y ) )
3231mpteq2dv 4289 . . . . 5  |-  ( x  =  ( z ( +g  `  G ) w )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) ) )
3332, 16fvmptg 5797 . . . 4  |-  ( ( ( z ( +g  `  G ) w )  e.  X  /\  (
y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G ) w ) 
.(+)  y ) )  e.  _V )  -> 
( F `  (
z ( +g  `  G
) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) ) )
3427, 30, 33syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  ( z ( +g  `  G ) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( z ( +g  `  G
) w )  .(+)  y ) ) )
3517adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  F : X
--> ( Base `  H
) )
3635, 24ffvelrnd 5864 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  z )  e.  (
Base `  H )
)
3735, 25ffvelrnd 5864 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  w )  e.  (
Base `  H )
)
387, 2, 4symgov 15093 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  ( Base `  H )  /\  ( F `  w )  e.  ( Base `  H
) )  ->  (
( F `  z
) ( +g  `  H
) ( F `  w ) )  =  ( ( F `  z )  o.  ( F `  w )
) )
3936, 37, 38syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )
( +g  `  H ) ( F `  w
) )  =  ( ( F `  z
)  o.  ( F `
 w ) ) )
401gaf 15065 . . . . . . 7  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
4140ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
4225adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  w  e.  X )
43 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
4441, 42, 43fovrnd 6211 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
w  .(+)  y )  e.  Y )
45 mptexg 5958 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
y  e.  Y  |->  ( w  .(+)  y )
)  e.  _V )
4628, 45syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( w 
.(+)  y ) )  e.  _V )
47 oveq1 6081 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
x  .(+)  y )  =  ( w  .(+)  y ) )
4847mpteq2dv 4289 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( w 
.(+)  y ) ) )
4948, 16fvmptg 5797 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  X  /\  ( y  e.  Y  |->  ( w  .(+)  y ) )  e.  _V )  ->  ( F `  w
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( w 
.(+)  y ) ) )
5025, 46, 49syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  w )  =  ( y  e.  Y  |->  ( w  .(+)  y )
) )
51 mptexg 5958 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  y )
)  e.  _V )
5228, 51syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( z 
.(+)  y ) )  e.  _V )
53 oveq1 6081 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  .(+)  y )  =  ( z  .(+)  y ) )
5453mpteq2dv 4289 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x  .(+)  y )
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( z 
.(+)  y ) ) )
5554, 16fvmptg 5797 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  y ) )  e.  _V )  ->  ( F `  z
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( z 
.(+)  y ) ) )
5624, 52, 55syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  z )  =  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  y )
) )
57 oveq2 6082 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
z  .(+)  y )  =  ( z  .(+)  x ) )
5857cbvmptv 4293 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Y  |->  ( z 
.(+)  y ) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( z  .(+)  x ) )
5956, 58syl6eq 2484 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  z )  =  ( x  e.  Y  |->  ( z  .(+)  x )
) )
60 oveq2 6082 . . . . 5  |-  ( x  =  ( w  .(+)  y )  ->  ( z  .(+)  x )  =  ( z  .(+)  ( w  .(+) 
y ) ) )
6144, 50, 59, 60fmptco 5894 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )  o.  ( F `  w
) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  ( w  .(+) 
y ) ) ) )
6239, 61eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )
( +g  `  H ) ( F `  w
) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( z  .(+)  ( w  .(+) 
y ) ) ) )
6322, 34, 623eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( F `  ( z ( +g  `  G ) w ) )  =  ( ( F `  z ) ( +g  `  H
) ( F `  w ) ) )
641, 2, 3, 4, 5, 9, 17, 63isghmd 15008 1  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2949    e. cmpt 4259    X. cxp 4869    o. ccom 4875   -->wf 5443   -1-1-onto->wf1o 5446   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   Basecbs 13462   +g cplusg 13522   Grpcgrp 14678    GrpHom cghm 14996    GrpAct cga 15059   SymGrpcsymg 15085
This theorem is referenced by:  cayleylem1  15103
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-plusg 13535  df-tset 13541  df-0g 13720  df-mnd 14683  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-ghm 14997  df-ga 15060  df-symg 15086
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