Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  galactghm Structured version   Unicode version

Theorem galactghm 15099
 Description: The currying of a group action is a group homomorphism between the group and the symetry group . (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
galactghm.x
galactghm.h
galactghm.f
Assertion
Ref Expression
galactghm
Distinct variable groups:   ,,   , ,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem galactghm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 galactghm.x . 2
2 eqid 2436 . 2
3 eqid 2436 . 2
4 eqid 2436 . 2
5 gagrp 15062 . 2
6 gaset 15063 . . 3
7 galactghm.h . . . 4
87symggrp 15096 . . 3
96, 8syl 16 . 2
10 eqid 2436 . . . . 5
111, 10gapm 15076 . . . 4
126adantr 452 . . . . 5
137, 2elsymgbas 15090 . . . . 5
1412, 13syl 16 . . . 4
1511, 14mpbird 224 . . 3
16 galactghm.f . . 3
1715, 16fmptd 5886 . 2
18 df-3an 938 . . . . . 6
191, 3gaass 15067 . . . . . 6
2018, 19sylan2br 463 . . . . 5
2120anassrs 630 . . . 4
2221mpteq2dva 4288 . . 3
235adantr 452 . . . . 5
24 simprl 733 . . . . 5
25 simprr 734 . . . . 5
261, 3grpcl 14811 . . . . 5
2723, 24, 25, 26syl3anc 1184 . . . 4
286adantr 452 . . . . 5
29 mptexg 5958 . . . . 5
3028, 29syl 16 . . . 4
31 oveq1 6081 . . . . . 6
3231mpteq2dv 4289 . . . . 5
3332, 16fvmptg 5797 . . . 4
3427, 30, 33syl2anc 643 . . 3
3517adantr 452 . . . . . 6
3635, 24ffvelrnd 5864 . . . . 5
3735, 25ffvelrnd 5864 . . . . 5
387, 2, 4symgov 15093 . . . . 5
3936, 37, 38syl2anc 643 . . . 4
401gaf 15065 . . . . . . 7
4140ad2antrr 707 . . . . . 6
4225adantr 452 . . . . . 6
43 simpr 448 . . . . . 6
4441, 42, 43fovrnd 6211 . . . . 5
45 mptexg 5958 . . . . . . 7
4628, 45syl 16 . . . . . 6
47 oveq1 6081 . . . . . . . 8
4847mpteq2dv 4289 . . . . . . 7
4948, 16fvmptg 5797 . . . . . 6
5025, 46, 49syl2anc 643 . . . . 5
51 mptexg 5958 . . . . . . . 8
5228, 51syl 16 . . . . . . 7
53 oveq1 6081 . . . . . . . . 9
5453mpteq2dv 4289 . . . . . . . 8
5554, 16fvmptg 5797 . . . . . . 7
5624, 52, 55syl2anc 643 . . . . . 6
57 oveq2 6082 . . . . . . 7
5857cbvmptv 4293 . . . . . 6
5956, 58syl6eq 2484 . . . . 5
60 oveq2 6082 . . . . 5
6144, 50, 59, 60fmptco 5894 . . . 4
6239, 61eqtrd 2468 . . 3
6322, 34, 623eqtr4d 2478 . 2
641, 2, 3, 4, 5, 9, 17, 63isghmd 15008 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2949   cmpt 4259   cxp 4869   ccom 4875  wf 5443  wf1o 5446  cfv 5447  (class class class)co 6074  cbs 13462   cplusg 13522  cgrp 14678   cghm 14996   cga 15059  csymg 15085 This theorem is referenced by:  cayleylem1  15103 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-plusg 13535  df-tset 13541  df-0g 13720  df-mnd 14683  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-ghm 14997  df-ga 15060  df-symg 15086
 Copyright terms: Public domain W3C validator