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Theorem galcan 15008
Description: The action of a particular group element is left-cancelable. (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
galcan.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
galcan  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  ( ( A  .(+)  B )  =  ( A  .(+)  C )  <-> 
B  =  C ) )

Proof of Theorem galcan
StepHypRef Expression
1 oveq2 6028 . . 3  |-  ( ( A  .(+)  B )  =  ( A  .(+)  C )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .(+)  ( A  .(+)  B ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .(+)  ( A  .(+)  C ) ) )
2 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
3 gagrp 14996 . . . . . . . 8  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  G  e.  Grp )
5 simpr1 963 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  A  e.  X )
6 galcan.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
7 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
8 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
9 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
106, 7, 8, 9grplinv 14778 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 A ) ( +g  `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) )
114, 5, 10syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  =  ( 0g `  G
) )
1211oveq1d 6035 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  .(+)  B )  =  ( ( 0g `  G ) 
.(+)  B ) )
136, 9grpinvcl 14777 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X )
144, 5, 13syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 A )  e.  X )
15 simpr2 964 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  B  e.  Y )
166, 7gaass 15001 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  Y )
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  .(+)  B )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .(+)  ( A  .(+)  B ) ) )
172, 14, 5, 15, 16syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  .(+)  B )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .(+)  ( A  .(+)  B ) ) )
188gagrpid 14998 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  B  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  B )  =  B )
192, 15, 18syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  ( ( 0g `  G )  .(+)  B )  =  B )
2012, 17, 193eqtr3d 2427 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .(+)  ( A  .(+)  B ) )  =  B )
2111oveq1d 6035 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  .(+)  C )  =  ( ( 0g `  G ) 
.(+)  C ) )
22 simpr3 965 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  C  e.  Y )
236, 7gaass 15001 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X  /\  A  e.  X  /\  C  e.  Y )
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  .(+)  C )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .(+)  ( A  .(+)  C ) ) )
242, 14, 5, 22, 23syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  .(+)  C )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .(+)  ( A  .(+)  C ) ) )
258gagrpid 14998 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  C  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  C )  =  C )
262, 22, 25syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  ( ( 0g `  G )  .(+)  C )  =  C )
2721, 24, 263eqtr3d 2427 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .(+)  ( A  .(+)  C ) )  =  C )
2820, 27eqeq12d 2401 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  A
)  .(+)  ( A  .(+)  B ) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .(+)  ( A  .(+)  C ) )  <->  B  =  C ) )
291, 28syl5ib 211 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  ( ( A  .(+)  B )  =  ( A  .(+)  C )  ->  B  =  C ) )
30 oveq2 6028 . 2  |-  ( B  =  C  ->  ( A  .(+)  B )  =  ( A  .(+)  C ) )
3129, 30impbid1 195 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Y )
)  ->  ( ( A  .(+)  B )  =  ( A  .(+)  C )  <-> 
B  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   0gc0g 13650   Grpcgrp 14612   inv gcminusg 14613    GrpAct cga 14993
This theorem is referenced by:  gacan  15009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-map 6956  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-ga 14994
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