MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gaorber Unicode version

Theorem gaorber 14778
Description: The orbit equivalence relation is an equivalence relation on the target set of the group action. (Contributed by NM, 11-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gaorb.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
gaorber.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gaorber  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .~  Er  Y
)
Distinct variable groups:    x, g,
y,  .(+)    g, X, x, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    .~ ( x, y, g)    G( x, y, g)    Y( g)

Proof of Theorem gaorber
Dummy variables  h  f  k  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gaorb.1 . . . 4  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
21relopabi 4827 . . 3  |-  Rel  .~
32a1i 10 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  Rel  .~  )
4 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  u  .~  v )
51gaorb 14777 . . . . 5  |-  ( u  .~  v  <->  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  v ) )
64, 5sylib 188 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  v ) )
76simp2d 968 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  v  e.  Y )
86simp1d 967 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  u  e.  Y )
96simp3d 969 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  v )
10 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
11 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  h  e.  X )
128adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  u  e.  Y )
137adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  v  e.  Y )
14 gaorber.2 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
15 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
1614, 15gacan 14775 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  u  e.  Y  /\  v  e.  Y )
)  ->  ( (
h  .(+)  u )  =  v  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  h )  .(+)  v )  =  u ) )
1710, 11, 12, 13, 16syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  ( ( h  .(+)  u )  =  v  <->  ( (
( inv g `  G ) `  h
)  .(+)  v )  =  u ) )
18 gagrp 14762 . . . . . . . . 9  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
1918adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  G  e.  Grp )
2014, 15grpinvcl 14543 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  h  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  h
)  e.  X )
2119, 20sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  h
)  e.  X )
22 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( inv g `  G ) `
 h )  -> 
( k  .(+)  v )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  h )  .(+)  v ) )
2322eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( inv g `  G ) `
 h )  -> 
( ( k  .(+)  v )  =  u  <->  ( (
( inv g `  G ) `  h
)  .(+)  v )  =  u ) )
2423rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  h
)  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 h )  .(+)  v )  =  u )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u )
2524ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  h
)  e.  X  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  h )  .(+)  v )  =  u  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
2621, 25syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  ( ( ( ( inv g `  G
) `  h )  .(+)  v )  =  u  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
2717, 26sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  ( ( h  .(+)  u )  =  v  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
2827rexlimdva 2680 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  ( E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  v  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
299, 28mpd 14 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u )
301gaorb 14777 . . 3  |-  ( v  .~  u  <->  ( v  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
317, 8, 29, 30syl3anbrc 1136 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  v  .~  u )
328adantrr 697 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  u  e.  Y
)
33 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  v  .~  w
)
341gaorb 14777 . . . . 5  |-  ( v  .~  w  <->  ( v  e.  Y  /\  w  e.  Y  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w ) )
3533, 34sylib 188 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  ( v  e.  Y  /\  w  e.  Y  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w ) )
3635simp2d 968 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  w  e.  Y
)
379adantrr 697 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  v )
3835simp3d 969 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w )
39 reeanv 2720 . . . . 5  |-  ( E. h  e.  X  E. k  e.  X  (
( h  .(+)  u )  =  v  /\  (
k  .(+)  v )  =  w )  <->  ( E. h  e.  X  (
h  .(+)  u )  =  v  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w ) )
4018ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  G  e.  Grp )
41 simprlr 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  k  e.  X
)
42 simprll 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  h  e.  X
)
43 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4414, 43grpcl 14511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  k  e.  X  /\  h  e.  X )  ->  ( k ( +g  `  G ) h )  e.  X )
4540, 41, 42, 44syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( k ( +g  `  G ) h )  e.  X
)
46 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  .(+)  e.  ( G 
GrpAct  Y ) )
4732adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  u  e.  Y
)
4814, 43gaass 14767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
k  e.  X  /\  h  e.  X  /\  u  e.  Y )
)  ->  ( (
k ( +g  `  G
) h )  .(+)  u )  =  ( k 
.(+)  ( h  .(+)  u ) ) )
4946, 41, 42, 47, 48syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( ( k ( +g  `  G
) h )  .(+)  u )  =  ( k 
.(+)  ( h  .(+)  u ) ) )
50 simprrl 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( h  .(+)  u )  =  v )
5150oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( k  .(+)  ( h  .(+)  u )
)  =  ( k 
.(+)  v ) )
52 simprrr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( k  .(+)  v )  =  w )
5349, 51, 523eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( ( k ( +g  `  G
) h )  .(+)  u )  =  w )
54 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( k ( +g  `  G ) h )  ->  (
f  .(+)  u )  =  ( ( k ( +g  `  G ) h )  .(+)  u ) )
5554eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( k ( +g  `  G ) h )  ->  (
( f  .(+)  u )  =  w  <->  ( (
k ( +g  `  G
) h )  .(+)  u )  =  w ) )
5655rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k ( +g  `  G ) h )  e.  X  /\  (
( k ( +g  `  G ) h ) 
.(+)  u )  =  w )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w )
5745, 53, 56syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w )
5857expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
h  e.  X  /\  k  e.  X )
)  ->  ( (
( h  .(+)  u )  =  v  /\  (
k  .(+)  v )  =  w )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w ) )
5958rexlimdvva 2687 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  ( E. h  e.  X  E. k  e.  X  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w ) )
6039, 59syl5bir 209 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  ( ( E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  v  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w ) )
6137, 38, 60mp2and 660 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w )
621gaorb 14777 . . 3  |-  ( u  .~  w  <->  ( u  e.  Y  /\  w  e.  Y  /\  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w ) )
6332, 36, 61, 62syl3anbrc 1136 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  u  .~  w
)
6418adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  e.  Y )  ->  G  e.  Grp )
65 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
6614, 65grpidcl 14526 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
6764, 66syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
6865gagrpid 14764 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  u )  =  u )
69 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( 0g `  G )  ->  (
h  .(+)  u )  =  ( ( 0g `  G )  .(+)  u ) )
7069eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( 0g `  G )  ->  (
( h  .(+)  u )  =  u  <->  ( ( 0g `  G )  .(+)  u )  =  u ) )
7170rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  ( ( 0g `  G )  .(+)  u )  =  u )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u )
7267, 68, 71syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  e.  Y )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u )
7372ex 423 . . . . 5  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( u  e.  Y  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u ) )
7473pm4.71rd 616 . . . 4  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( u  e.  Y  <->  ( E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u  /\  u  e.  Y
) ) )
75 df-3an 936 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u )  <->  ( (
u  e.  Y  /\  u  e.  Y )  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u ) )
76 anidm 625 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y )  <->  u  e.  Y )
7776anbi2ci 677 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y
)  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u )  <->  ( E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u  /\  u  e.  Y
) )
7875, 77bitri 240 . . . 4  |-  ( ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u )  <->  ( E. h  e.  X  (
h  .(+)  u )  =  u  /\  u  e.  Y ) )
7974, 78syl6bbr 254 . . 3  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( u  e.  Y  <->  ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u ) ) )
801gaorb 14777 . . 3  |-  ( u  .~  u  <->  ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u ) )
8179, 80syl6bbr 254 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( u  e.  Y  <->  u  .~  u
) )
823, 31, 63, 81iserd 6702 1  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .~  Er  Y
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557    C_ wss 3165   {cpr 3654   class class class wbr 4039   {copab 4092   Rel wrel 4710   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    Er wer 6673   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379    GrpAct cga 14759
This theorem is referenced by:  sylow1lem3  14927  sylow1lem5  14929  sylow2alem1  14944  sylow2alem2  14945  sylow2a  14946  sylow3lem3  14956
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-map 6790  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-ga 14760
  Copyright terms: Public domain W3C validator