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Theorem gaorber 15012
Description: The orbit equivalence relation is an equivalence relation on the target set of the group action. (Contributed by NM, 11-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gaorb.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
gaorber.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gaorber  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .~  Er  Y
)
Distinct variable groups:    x, g,
y,  .(+)    g, X, x, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    .~ ( x, y, g)    G( x, y, g)    Y( g)

Proof of Theorem gaorber
Dummy variables  h  f  k  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gaorb.1 . . . 4  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
21relopabi 4940 . . 3  |-  Rel  .~
32a1i 11 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  Rel  .~  )
4 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  u  .~  v )
51gaorb 15011 . . . . 5  |-  ( u  .~  v  <->  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  v ) )
64, 5sylib 189 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  v ) )
76simp2d 970 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  v  e.  Y )
86simp1d 969 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  u  e.  Y )
96simp3d 971 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  v )
10 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
11 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  h  e.  X )
128adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  u  e.  Y )
137adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  v  e.  Y )
14 gaorber.2 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
15 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
1614, 15gacan 15009 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  u  e.  Y  /\  v  e.  Y )
)  ->  ( (
h  .(+)  u )  =  v  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  h )  .(+)  v )  =  u ) )
1710, 11, 12, 13, 16syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  ( ( h  .(+)  u )  =  v  <->  ( (
( inv g `  G ) `  h
)  .(+)  v )  =  u ) )
18 gagrp 14996 . . . . . . . . 9  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
1918adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  G  e.  Grp )
2014, 15grpinvcl 14777 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  h  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  h
)  e.  X )
2119, 20sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  h
)  e.  X )
22 oveq1 6027 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( inv g `  G ) `
 h )  -> 
( k  .(+)  v )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  h )  .(+)  v ) )
2322eqeq1d 2395 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( inv g `  G ) `
 h )  -> 
( ( k  .(+)  v )  =  u  <->  ( (
( inv g `  G ) `  h
)  .(+)  v )  =  u ) )
2423rspcev 2995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  h
)  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 h )  .(+)  v )  =  u )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u )
2524ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  h
)  e.  X  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  h )  .(+)  v )  =  u  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
2621, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  ( ( ( ( inv g `  G
) `  h )  .(+)  v )  =  u  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
2717, 26sylbid 207 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  ( ( h  .(+)  u )  =  v  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
2827rexlimdva 2773 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  ( E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  v  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
299, 28mpd 15 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u )
301gaorb 15011 . . 3  |-  ( v  .~  u  <->  ( v  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
317, 8, 29, 30syl3anbrc 1138 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  v  .~  u )
328adantrr 698 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  u  e.  Y
)
33 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  v  .~  w
)
341gaorb 15011 . . . . 5  |-  ( v  .~  w  <->  ( v  e.  Y  /\  w  e.  Y  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w ) )
3533, 34sylib 189 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  ( v  e.  Y  /\  w  e.  Y  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w ) )
3635simp2d 970 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  w  e.  Y
)
379adantrr 698 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  v )
3835simp3d 971 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w )
39 reeanv 2818 . . . . 5  |-  ( E. h  e.  X  E. k  e.  X  (
( h  .(+)  u )  =  v  /\  (
k  .(+)  v )  =  w )  <->  ( E. h  e.  X  (
h  .(+)  u )  =  v  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w ) )
4018ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  G  e.  Grp )
41 simprlr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  k  e.  X
)
42 simprll 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  h  e.  X
)
43 eqid 2387 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4414, 43grpcl 14745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  k  e.  X  /\  h  e.  X )  ->  ( k ( +g  `  G ) h )  e.  X )
4540, 41, 42, 44syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( k ( +g  `  G ) h )  e.  X
)
46 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  .(+)  e.  ( G 
GrpAct  Y ) )
4732adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  u  e.  Y
)
4814, 43gaass 15001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
k  e.  X  /\  h  e.  X  /\  u  e.  Y )
)  ->  ( (
k ( +g  `  G
) h )  .(+)  u )  =  ( k 
.(+)  ( h  .(+)  u ) ) )
4946, 41, 42, 47, 48syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( ( k ( +g  `  G
) h )  .(+)  u )  =  ( k 
.(+)  ( h  .(+)  u ) ) )
50 simprrl 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( h  .(+)  u )  =  v )
5150oveq2d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( k  .(+)  ( h  .(+)  u )
)  =  ( k 
.(+)  v ) )
52 simprrr 742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( k  .(+)  v )  =  w )
5349, 51, 523eqtrd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( ( k ( +g  `  G
) h )  .(+)  u )  =  w )
54 oveq1 6027 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( k ( +g  `  G ) h )  ->  (
f  .(+)  u )  =  ( ( k ( +g  `  G ) h )  .(+)  u ) )
5554eqeq1d 2395 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( k ( +g  `  G ) h )  ->  (
( f  .(+)  u )  =  w  <->  ( (
k ( +g  `  G
) h )  .(+)  u )  =  w ) )
5655rspcev 2995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k ( +g  `  G ) h )  e.  X  /\  (
( k ( +g  `  G ) h ) 
.(+)  u )  =  w )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w )
5745, 53, 56syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w )
5857expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
h  e.  X  /\  k  e.  X )
)  ->  ( (
( h  .(+)  u )  =  v  /\  (
k  .(+)  v )  =  w )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w ) )
5958rexlimdvva 2780 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  ( E. h  e.  X  E. k  e.  X  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w ) )
6039, 59syl5bir 210 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  ( ( E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  v  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w ) )
6137, 38, 60mp2and 661 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w )
621gaorb 15011 . . 3  |-  ( u  .~  w  <->  ( u  e.  Y  /\  w  e.  Y  /\  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w ) )
6332, 36, 61, 62syl3anbrc 1138 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  u  .~  w
)
6418adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  e.  Y )  ->  G  e.  Grp )
65 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
6614, 65grpidcl 14760 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
6764, 66syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
6865gagrpid 14998 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  u )  =  u )
69 oveq1 6027 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( 0g `  G )  ->  (
h  .(+)  u )  =  ( ( 0g `  G )  .(+)  u ) )
7069eqeq1d 2395 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( 0g `  G )  ->  (
( h  .(+)  u )  =  u  <->  ( ( 0g `  G )  .(+)  u )  =  u ) )
7170rspcev 2995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  ( ( 0g `  G )  .(+)  u )  =  u )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u )
7267, 68, 71syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  e.  Y )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u )
7372ex 424 . . . . 5  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( u  e.  Y  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u ) )
7473pm4.71rd 617 . . . 4  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( u  e.  Y  <->  ( E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u  /\  u  e.  Y
) ) )
75 df-3an 938 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u )  <->  ( (
u  e.  Y  /\  u  e.  Y )  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u ) )
76 anidm 626 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y )  <->  u  e.  Y )
7776anbi2ci 678 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y
)  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u )  <->  ( E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u  /\  u  e.  Y
) )
7875, 77bitri 241 . . . 4  |-  ( ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u )  <->  ( E. h  e.  X  (
h  .(+)  u )  =  u  /\  u  e.  Y ) )
7974, 78syl6bbr 255 . . 3  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( u  e.  Y  <->  ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u ) ) )
801gaorb 15011 . . 3  |-  ( u  .~  u  <->  ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u ) )
8179, 80syl6bbr 255 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( u  e.  Y  <->  u  .~  u
) )
823, 31, 63, 81iserd 6867 1  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .~  Er  Y
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2650    C_ wss 3263   {cpr 3758   class class class wbr 4153   {copab 4206   Rel wrel 4823   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    Er wer 6838   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   0gc0g 13650   Grpcgrp 14612   inv gcminusg 14613    GrpAct cga 14993
This theorem is referenced by:  sylow1lem3  15161  sylow1lem5  15163  sylow2alem1  15178  sylow2alem2  15179  sylow2a  15180  sylow3lem3  15190
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-map 6956  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-ga 14994
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