Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gaorber Structured version   Unicode version

Theorem gaorber 15077
 Description: The orbit equivalence relation is an equivalence relation on the target set of the group action. (Contributed by NM, 11-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gaorb.1
gaorber.2
Assertion
Ref Expression
gaorber
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   ()

Proof of Theorem gaorber
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gaorb.1 . . . 4
21relopabi 4992 . . 3
32a1i 11 . 2
4 simpr 448 . . . . 5
51gaorb 15076 . . . . 5
64, 5sylib 189 . . . 4
76simp2d 970 . . 3
86simp1d 969 . . 3
96simp3d 971 . . . 4
10 simpll 731 . . . . . . 7
11 simpr 448 . . . . . . 7
128adantr 452 . . . . . . 7
137adantr 452 . . . . . . 7
14 gaorber.2 . . . . . . . 8
15 eqid 2435 . . . . . . . 8
1614, 15gacan 15074 . . . . . . 7
1710, 11, 12, 13, 16syl13anc 1186 . . . . . 6
18 gagrp 15061 . . . . . . . . 9
1918adantr 452 . . . . . . . 8
2014, 15grpinvcl 14842 . . . . . . . 8
2119, 20sylan 458 . . . . . . 7
22 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10
2322eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9
2423rspcev 3044 . . . . . . . 8
2524ex 424 . . . . . . 7
2621, 25syl 16 . . . . . 6
2717, 26sylbid 207 . . . . 5
2827rexlimdva 2822 . . . 4
299, 28mpd 15 . . 3
301gaorb 15076 . . 3
317, 8, 29, 30syl3anbrc 1138 . 2
328adantrr 698 . . 3
33 simprr 734 . . . . 5
341gaorb 15076 . . . . 5
3533, 34sylib 189 . . . 4
3635simp2d 970 . . 3
379adantrr 698 . . . 4
3835simp3d 971 . . . 4
39 reeanv 2867 . . . . 5
4018ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
41 simprlr 740 . . . . . . . . 9
42 simprll 739 . . . . . . . . 9
43 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
4414, 43grpcl 14810 . . . . . . . . 9
4540, 41, 42, 44syl3anc 1184 . . . . . . . 8
46 simpll 731 . . . . . . . . . 10
4732adantr 452 . . . . . . . . . 10
4814, 43gaass 15066 . . . . . . . . . 10
4946, 41, 42, 47, 48syl13anc 1186 . . . . . . . . 9
50 simprrl 741 . . . . . . . . . 10
5150oveq2d 6089 . . . . . . . . 9
52 simprrr 742 . . . . . . . . 9
5349, 51, 523eqtrd 2471 . . . . . . . 8
54 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10
5554eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9
5655rspcev 3044 . . . . . . . 8
5745, 53, 56syl2anc 643 . . . . . . 7
5857expr 599 . . . . . 6
5958rexlimdvva 2829 . . . . 5
6039, 59syl5bir 210 . . . 4
6137, 38, 60mp2and 661 . . 3
621gaorb 15076 . . 3
6332, 36, 61, 62syl3anbrc 1138 . 2
6418adantr 452 . . . . . . . 8
65 eqid 2435 . . . . . . . . 9
6614, 65grpidcl 14825 . . . . . . . 8
6764, 66syl 16 . . . . . . 7
6865gagrpid 15063 . . . . . . 7
69 oveq1 6080 . . . . . . . . 9
7069eqeq1d 2443 . . . . . . . 8
7170rspcev 3044 . . . . . . 7
7267, 68, 71syl2anc 643 . . . . . 6
7372ex 424 . . . . 5
7473pm4.71rd 617 . . . 4
75 df-3an 938 . . . . 5
76 anidm 626 . . . . . 6
7776anbi2ci 678 . . . . 5
7875, 77bitri 241 . . . 4
7974, 78syl6bbr 255 . . 3
801gaorb 15076 . . 3
8179, 80syl6bbr 255 . 2
823, 31, 63, 81iserd 6923 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698   wss 3312  cpr 3807   class class class wbr 4204  copab 4257   wrel 4875  cfv 5446  (class class class)co 6073   wer 6894  cbs 13461   cplusg 13521  c0g 13715  cgrp 14677  cminusg 14678   cga 15058 This theorem is referenced by:  sylow1lem3  15226  sylow1lem5  15228  sylow2alem1  15243  sylow2alem2  15244  sylow2a  15245  sylow3lem3  15255 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-ga 15059
 Copyright terms: Public domain W3C validator