Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gapm Unicode version

Theorem gapm 14776
 Description: The action of a particular group element is a permutation of the base set. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gapm.1
gapm.2
Assertion
Ref Expression
gapm
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem gapm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gapm.2 . 2
2 gapm.1 . . . . 5
32gaf 14765 . . . 4
5 simplr 731 . . 3
6 simpr 447 . . 3
7 fovrn 6006 . . 3
84, 5, 6, 7syl3anc 1182 . 2
10 gagrp 14762 . . . . 5
1110ad2antrr 706 . . . 4
12 simplr 731 . . . 4
13 eqid 2296 . . . . 5
142, 13grpinvcl 14543 . . . 4
1511, 12, 14syl2anc 642 . . 3
16 simpr 447 . . 3
17 fovrn 6006 . . 3
189, 15, 16, 17syl3anc 1182 . 2
19 simpll 730 . . . . 5
20 simplr 731 . . . . 5
21 simprl 732 . . . . 5
22 simprr 733 . . . . 5
232, 13gacan 14775 . . . . 5
2419, 20, 21, 22, 23syl13anc 1184 . . . 4
2524bicomd 192 . . 3
26 eqcom 2298 . . 3
27 eqcom 2298 . . 3
2825, 26, 273bitr4g 279 . 2
291, 8, 18, 28f1o2d 6085 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   cmpt 4093   cxp 4703  wf 5267  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164  cgrp 14378  cminusg 14379   cga 14759 This theorem is referenced by:  galactghm  14799  gapm2  25472 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-map 6790  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-ga 14760
 Copyright terms: Public domain W3C validator