Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gapm Structured version   Unicode version

Theorem gapm 15075
 Description: The action of a particular group element is a permutation of the base set. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gapm.1
gapm.2
Assertion
Ref Expression
gapm
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem gapm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gapm.2 . 2
2 gapm.1 . . . . 5
32gaf 15064 . . . 4
5 simplr 732 . . 3
6 simpr 448 . . 3
74, 5, 6fovrnd 6210 . 2
9 gagrp 15061 . . . . 5
109ad2antrr 707 . . . 4
11 simplr 732 . . . 4
12 eqid 2435 . . . . 5
132, 12grpinvcl 14842 . . . 4
1410, 11, 13syl2anc 643 . . 3
15 simpr 448 . . 3
168, 14, 15fovrnd 6210 . 2
17 simpll 731 . . . . 5
18 simplr 732 . . . . 5
19 simprl 733 . . . . 5
20 simprr 734 . . . . 5
212, 12gacan 15074 . . . . 5
2217, 18, 19, 20, 21syl13anc 1186 . . . 4
2322bicomd 193 . . 3
24 eqcom 2437 . . 3
25 eqcom 2437 . . 3
2623, 24, 253bitr4g 280 . 2
271, 7, 16, 26f1o2d 6288 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   cmpt 4258   cxp 4868  wf 5442  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461  cgrp 14677  cminusg 14678   cga 15058 This theorem is referenced by:  galactghm  15098 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-map 7012  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-ga 15059
 Copyright terms: Public domain W3C validator