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Theorem gapm 14760
Description: The action of a particular group element is a permutation of the base set. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gapm.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gapm.2  |-  F  =  ( x  e.  Y  |->  ( A  .(+)  x ) )
Assertion
Ref Expression
gapm  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  ->  F : Y -1-1-onto-> Y )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x,  .(+)    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem gapm
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gapm.2 . 2  |-  F  =  ( x  e.  Y  |->  ( A  .(+)  x ) )
2 gapm.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
32gaf 14749 . . . 4  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
43ad2antrr 706 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  /\  x  e.  Y
)  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
5 simplr 731 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  /\  x  e.  Y
)  ->  A  e.  X )
6 simpr 447 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  /\  x  e.  Y
)  ->  x  e.  Y )
7 fovrn 5990 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  A  e.  X  /\  x  e.  Y )  ->  ( A  .(+)  x )  e.  Y )
84, 5, 6, 7syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( A  .(+) 
x )  e.  Y
)
93ad2antrr 706 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  Y
)  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
10 gagrp 14746 . . . . 5  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
1110ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  Y
)  ->  G  e.  Grp )
12 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  Y
)  ->  A  e.  X )
13 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
142, 13grpinvcl 14527 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X )
1511, 12, 14syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  Y
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 A )  e.  X )
16 simpr 447 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  Y
)  ->  y  e.  Y )
17 fovrn 5990 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  ( ( inv g `  G ) `  A
)  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .(+)  y )  e.  Y )
189, 15, 16, 17syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  Y
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .(+)  y )  e.  Y )
19 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
20 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  A  e.  X )
21 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  x  e.  Y )
22 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  y  e.  Y )
232, 13gacan 14759 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( A  e.  X  /\  x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( ( A  .(+)  x )  =  y  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .(+)  y )  =  x ) )
2419, 20, 21, 22, 23syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
( A  .(+)  x )  =  y  <->  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .(+)  y )  =  x ) )
2524bicomd 192 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 A )  .(+)  y )  =  x  <->  ( A  .(+) 
x )  =  y ) )
26 eqcom 2285 . . 3  |-  ( x  =  ( ( ( inv g `  G
) `  A )  .(+)  y )  <->  ( (
( inv g `  G ) `  A
)  .(+)  y )  =  x )
27 eqcom 2285 . . 3  |-  ( y  =  ( A  .(+)  x )  <->  ( A  .(+)  x )  =  y )
2825, 26, 273bitr4g 279 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x  =  ( ( ( inv g `  G ) `  A
)  .(+)  y )  <->  y  =  ( A  .(+)  x ) ) )
291, 8, 18, 28f1o2d 6069 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  X )  ->  F : Y -1-1-onto-> Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363    GrpAct cga 14743
This theorem is referenced by:  galactghm  14783  gapm2  25369
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-map 6774  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-ga 14744
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