Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gapm2 Unicode version

Theorem gapm2 25472
 Description: The action of a particular group element is a permutation of the base set. gapm 14776 expressed with the currying operator. (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gapm2.1
Assertion
Ref Expression
gapm2

Proof of Theorem gapm2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gapm2.1 . . . 4
2 eqid 2296 . . . 4
31, 2gapm 14776 . . 3
5 fvex 5555 . . . . . 6
61, 5eqeltri 2366 . . . . 5
76a1i 10 . . . 4
8 gaset 14763 . . . . 5
98adantr 451 . . . 4
10 simprr 733 . . . 4
111gaf 14765 . . . . . 6
1211adantr 451 . . . . 5
13 ffn 5405 . . . . 5
1412, 13syl 15 . . . 4
15 simprl 732 . . . 4
16 valcurfn2 25308 . . . 4
177, 9, 10, 14, 15, 16syl221anc 1193 . . 3
18 f1oeq1 5479 . . 3
1917, 18syl 15 . 2
204, 19mpbird 223 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  cvv 2801  c0 3468   cmpt 4093   cxp 4703   wfn 5266  wf 5267  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164   cga 14759  ccur1 25297 This theorem is referenced by:  rngapm  25473 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-map 6790  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-ga 14760  df-cur1 25299
 Copyright terms: Public domain W3C validator