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Theorem gastacl 15076
Description: The stabilizer subgroup in a group action. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gasta.2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
Assertion
Ref Expression
gastacl  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
Distinct variable groups:    u,  .(+)    u, A   
u, G    u, X
Allowed substitution hints:    H( u)    Y( u)

Proof of Theorem gastacl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gasta.2 . . . 4  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
2 ssrab2 3420 . . . 4  |-  { u  e.  X  |  (
u  .(+)  A )  =  A }  C_  X
31, 2eqsstri 3370 . . 3  |-  H  C_  X
43a1i 11 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  C_  X )
5 gagrp 15059 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
65adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  G  e.  Grp )
7 gasta.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
8 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
97, 8grpidcl 14823 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
106, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
118gagrpid 15061 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  A )  =  A )
12 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( 0g `  G )  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( ( 0g `  G )  .(+)  A ) )
1312eqeq1d 2443 . . . . 5  |-  ( u  =  ( 0g `  G )  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( ( 0g `  G )  .(+)  A )  =  A ) )
1413, 1elrab2 3086 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  H  <->  ( ( 0g `  G )  e.  X  /\  ( ( 0g `  G ) 
.(+)  A )  =  A ) )
1510, 11, 14sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  e.  H )
16 ne0i 3626 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  H  ->  H  =/=  (/) )
1715, 16syl 16 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  =/=  (/) )
18 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
1918, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  G  e.  Grp )
20 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  x  e.  H )
21 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  x  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( x  .(+)  A ) )
2221eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  x  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( x  .(+) 
A )  =  A ) )
2322, 1elrab2 3086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  H  <->  ( x  e.  X  /\  (
x  .(+)  A )  =  A ) )
2420, 23sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( x  e.  X  /\  (
x  .(+)  A )  =  A ) )
2524simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  x  e.  X )
2625adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  x  e.  X )
27 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  y  e.  H )
28 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  y  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( y  .(+)  A ) )
2928eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  y  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( y  .(+)  A )  =  A ) )
3029, 1elrab2 3086 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  <->  ( y  e.  X  /\  (
y  .(+)  A )  =  A ) )
3127, 30sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
y  e.  X  /\  ( y  .(+)  A )  =  A ) )
3231simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  y  e.  X )
33 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
347, 33grpcl 14808 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  X )
3519, 26, 32, 34syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  X )
36 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  A  e.  Y )
377, 33gaass 15064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  A  e.  Y )
)  ->  ( (
x ( +g  `  G
) y )  .(+)  A )  =  ( x 
.(+)  ( y  .(+)  A ) ) )
3818, 26, 32, 36, 37syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) 
.(+)  A )  =  ( x  .(+)  ( y  .(+)  A ) ) )
3931simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
y  .(+)  A )  =  A )
4039oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x  .(+)  ( y  .(+)  A ) )  =  ( x  .(+)  A )
)
4124simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( x  .(+) 
A )  =  A )
4241adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x  .(+)  A )  =  A )
4338, 40, 423eqtrd 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) 
.(+)  A )  =  A )
44 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( x ( +g  `  G ) y )  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( ( x ( +g  `  G ) y )  .(+)  A ) )
4544eqeq1d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( x ( +g  `  G ) y )  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
x ( +g  `  G
) y )  .(+)  A )  =  A ) )
4645, 1elrab2 3086 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  H  <->  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  X  /\  ( ( x ( +g  `  G
) y )  .(+)  A )  =  A ) )
4735, 43, 46sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  H )
4847anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  /\  y  e.  H )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  H )
4948ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  A. y  e.  H  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  H
)
50 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
5150, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  G  e.  Grp )
52 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
537, 52grpinvcl 14840 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  X )
5451, 25, 53syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  X )
55 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  A  e.  Y )
567, 52gacan 15072 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
x  e.  X  /\  A  e.  Y  /\  A  e.  Y )
)  ->  ( (
x  .(+)  A )  =  A  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  x )  .(+)  A )  =  A ) )
5750, 25, 55, 55, 56syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( (
x  .(+)  A )  =  A  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  x )  .(+)  A )  =  A ) )
5841, 57mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  x
)  .(+)  A )  =  A )
59 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( ( inv g `  G ) `
 x )  -> 
( u  .(+)  A )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  x )  .(+)  A ) )
6059eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ( inv g `  G ) `
 x )  -> 
( ( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
( inv g `  G ) `  x
)  .(+)  A )  =  A ) )
6160, 1elrab2 3086 . . . . 5  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  H  <->  ( (
( inv g `  G ) `  x
)  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x )  .(+)  A )  =  A ) )
6254, 58, 61sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  H )
6349, 62jca 519 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( A. y  e.  H  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  H  /\  ( ( inv g `  G
) `  x )  e.  H ) )
6463ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  A. x  e.  H  ( A. y  e.  H  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  H  /\  ( ( inv g `  G
) `  x )  e.  H ) )
657, 33, 52issubg2 14949 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( H  C_  X  /\  H  =/=  (/)  /\  A. x  e.  H  ( A. y  e.  H  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  H  /\  (
( inv g `  G ) `  x
)  e.  H ) ) ) )
666, 65syl 16 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( H  C_  X  /\  H  =/=  (/)  /\  A. x  e.  H  ( A. y  e.  H  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  H  /\  (
( inv g `  G ) `  x
)  e.  H ) ) ) )
674, 17, 64, 66mpbir3and 1137 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   {crab 2701    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13459   +g cplusg 13519   0gc0g 13713   Grpcgrp 14675   inv gcminusg 14676  SubGrpcsubg 14928    GrpAct cga 15056
This theorem is referenced by:  gastacos  15077  orbstafun  15078  orbstaval  15079  orbsta  15080  orbsta2  15081  sylow1lem5  15226
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-subg 14931  df-ga 15057
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