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Theorem gastacl 14779
Description: The stabilizer subgroup in a group action. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gasta.2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
Assertion
Ref Expression
gastacl  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
Distinct variable groups:    u,  .(+)    u, A   
u, G    u, X
Allowed substitution hints:    H( u)    Y( u)

Proof of Theorem gastacl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gasta.2 . . . 4  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
2 ssrab2 3271 . . . 4  |-  { u  e.  X  |  (
u  .(+)  A )  =  A }  C_  X
31, 2eqsstri 3221 . . 3  |-  H  C_  X
43a1i 10 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  C_  X )
5 gagrp 14762 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
65adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  G  e.  Grp )
7 gasta.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
8 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
97, 8grpidcl 14526 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
106, 9syl 15 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
118gagrpid 14764 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  A )  =  A )
12 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( 0g `  G )  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( ( 0g `  G )  .(+)  A ) )
1312eqeq1d 2304 . . . . 5  |-  ( u  =  ( 0g `  G )  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( ( 0g `  G )  .(+)  A )  =  A ) )
1413, 1elrab2 2938 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  H  <->  ( ( 0g `  G )  e.  X  /\  ( ( 0g `  G ) 
.(+)  A )  =  A ) )
1510, 11, 14sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  e.  H )
16 ne0i 3474 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  H  ->  H  =/=  (/) )
1715, 16syl 15 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  =/=  (/) )
18 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
1918, 5syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  G  e.  Grp )
20 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  x  e.  H )
21 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  x  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( x  .(+)  A ) )
2221eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  x  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( x  .(+) 
A )  =  A ) )
2322, 1elrab2 2938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  H  <->  ( x  e.  X  /\  (
x  .(+)  A )  =  A ) )
2420, 23sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( x  e.  X  /\  (
x  .(+)  A )  =  A ) )
2524simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  x  e.  X )
2625adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  x  e.  X )
27 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  y  e.  H )
28 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  y  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( y  .(+)  A ) )
2928eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  y  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( y  .(+)  A )  =  A ) )
3029, 1elrab2 2938 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  <->  ( y  e.  X  /\  (
y  .(+)  A )  =  A ) )
3127, 30sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
y  e.  X  /\  ( y  .(+)  A )  =  A ) )
3231simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  y  e.  X )
33 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
347, 33grpcl 14511 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  X )
3519, 26, 32, 34syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  X )
36 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  A  e.  Y )
377, 33gaass 14767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  A  e.  Y )
)  ->  ( (
x ( +g  `  G
) y )  .(+)  A )  =  ( x 
.(+)  ( y  .(+)  A ) ) )
3818, 26, 32, 36, 37syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) 
.(+)  A )  =  ( x  .(+)  ( y  .(+)  A ) ) )
3931simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
y  .(+)  A )  =  A )
4039oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x  .(+)  ( y  .(+)  A ) )  =  ( x  .(+)  A )
)
4124simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( x  .(+) 
A )  =  A )
4241adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x  .(+)  A )  =  A )
4338, 40, 423eqtrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) 
.(+)  A )  =  A )
44 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( x ( +g  `  G ) y )  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( ( x ( +g  `  G ) y )  .(+)  A ) )
4544eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( x ( +g  `  G ) y )  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
x ( +g  `  G
) y )  .(+)  A )  =  A ) )
4645, 1elrab2 2938 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  H  <->  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  X  /\  ( ( x ( +g  `  G
) y )  .(+)  A )  =  A ) )
4735, 43, 46sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  H )
4847anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  /\  y  e.  H )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  H )
4948ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  A. y  e.  H  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  H
)
50 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
5150, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  G  e.  Grp )
52 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
537, 52grpinvcl 14543 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  X )
5451, 25, 53syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  X )
55 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  A  e.  Y )
567, 52gacan 14775 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
x  e.  X  /\  A  e.  Y  /\  A  e.  Y )
)  ->  ( (
x  .(+)  A )  =  A  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  x )  .(+)  A )  =  A ) )
5750, 25, 55, 55, 56syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( (
x  .(+)  A )  =  A  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  x )  .(+)  A )  =  A ) )
5841, 57mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  x
)  .(+)  A )  =  A )
59 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( ( inv g `  G ) `
 x )  -> 
( u  .(+)  A )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  x )  .(+)  A ) )
6059eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ( inv g `  G ) `
 x )  -> 
( ( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
( inv g `  G ) `  x
)  .(+)  A )  =  A ) )
6160, 1elrab2 2938 . . . . 5  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  H  <->  ( (
( inv g `  G ) `  x
)  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 x )  .(+)  A )  =  A ) )
6254, 58, 61sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  H )
6349, 62jca 518 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  x  e.  H
)  ->  ( A. y  e.  H  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  H  /\  ( ( inv g `  G
) `  x )  e.  H ) )
6463ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  A. x  e.  H  ( A. y  e.  H  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  H  /\  ( ( inv g `  G
) `  x )  e.  H ) )
657, 33, 52issubg2 14652 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( H  C_  X  /\  H  =/=  (/)  /\  A. x  e.  H  ( A. y  e.  H  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  H  /\  (
( inv g `  G ) `  x
)  e.  H ) ) ) )
666, 65syl 15 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( H  C_  X  /\  H  =/=  (/)  /\  A. x  e.  H  ( A. y  e.  H  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  H  /\  (
( inv g `  G ) `  x
)  e.  H ) ) ) )
674, 17, 64, 66mpbir3and 1135 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379  SubGrpcsubg 14631    GrpAct cga 14759
This theorem is referenced by:  gastacos  14780  orbstafun  14781  orbstaval  14782  orbsta  14783  orbsta2  14784  sylow1lem5  14929
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634  df-ga 14760
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