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Theorem gastacos 14780
Description: Write the coset relation for the stabilizer subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gasta.2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
orbsta.r  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
Assertion
Ref Expression
gastacos  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( B  .(+) 
A )  =  ( C  .(+)  A )
) )
Distinct variable groups:    u,  .(+)    u, A   
u, G    u, B    u, X    u, C
Allowed substitution hints:    .~ ( u)    H( u)    Y( u)

Proof of Theorem gastacos
StepHypRef Expression
1 gasta.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 gasta.2 . . . . . . 7  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
31, 2gastacl 14779 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
43adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
5 subgrcl 14642 . . . . 5  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  G  e.  Grp )
71subgss 14638 . . . . 5  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  C_  X
)
84, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  H  C_  X )
9 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
10 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
11 orbsta.r . . . . 5  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
121, 9, 10, 11eqgval 14682 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  H  C_  X )  -> 
( B  .~  C  <->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H
) ) )
136, 8, 12syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H ) ) )
14 df-3an 936 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H
)  <->  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H ) )
1513, 14syl6bb 252 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X )  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H
) ) )
16 simpr 447 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X )
)
1716biantrurd 494 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H  <->  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X
)  /\  ( (
( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H ) ) )
18 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
19 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  B  e.  X )
201, 9grpinvcl 14543 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X )
216, 19, 20syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  B
)  e.  X )
22 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  C  e.  X )
23 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  A  e.  Y )
241, 10gaass 14767 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X  /\  C  e.  X  /\  A  e.  Y )
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .(+)  ( C  .(+)  A ) ) )
2518, 21, 22, 23, 24syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  .(+)  A )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .(+)  ( C  .(+)  A ) ) )
2625eqeq1d 2304 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( ( inv g `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
( inv g `  G ) `  B
)  .(+)  ( C  .(+)  A ) )  =  A ) )
271, 10grpcl 14511 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  X
)
286, 21, 22, 27syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  X )
29 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( ( ( ( inv g `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  .(+)  A ) )
3029eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  A ) )
3130, 2elrab2 2938 . . . . 5  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  X  /\  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  A ) )
3231baib 871 . . . 4  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  X  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  A ) )
3328, 32syl 15 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  .(+)  A )  =  A ) )
341gaf 14765 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
3518, 34syl 15 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
36 fovrn 6006 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  C  e.  X  /\  A  e.  Y )  ->  ( C  .(+)  A )  e.  Y )
3735, 22, 23, 36syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( C  .(+)  A )  e.  Y )
381, 9gacan 14775 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  A  e.  Y  /\  ( C  .(+)  A )  e.  Y ) )  ->  ( ( B 
.(+)  A )  =  ( C  .(+)  A )  <->  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .(+)  ( C  .(+)  A ) )  =  A ) )
3918, 19, 23, 37, 38syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( B  .(+)  A )  =  ( C  .(+)  A )  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .(+)  ( C  .(+)  A ) )  =  A ) )
4026, 33, 393bitr4d 276 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H  <->  ( B  .(+)  A )  =  ( C  .(+)  A ) ) )
4115, 17, 403bitr2d 272 1  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( B  .(+) 
A )  =  ( C  .(+)  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379  SubGrpcsubg 14631   ~QG cqg 14633    GrpAct cga 14759
This theorem is referenced by:  orbstafun  14781  orbsta  14783
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634  df-eqg 14636  df-ga 14760
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