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Theorem gastacos 14764
Description: Write the coset relation for the stabilizer subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gasta.2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
orbsta.r  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
Assertion
Ref Expression
gastacos  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( B  .(+) 
A )  =  ( C  .(+)  A )
) )
Distinct variable groups:    u,  .(+)    u, A   
u, G    u, B    u, X    u, C
Allowed substitution hints:    .~ ( u)    H( u)    Y( u)

Proof of Theorem gastacos
StepHypRef Expression
1 gasta.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 gasta.2 . . . . . . 7  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
31, 2gastacl 14763 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
43adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
5 subgrcl 14626 . . . . 5  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  G  e.  Grp )
71subgss 14622 . . . . 5  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  C_  X
)
84, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  H  C_  X )
9 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
10 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
11 orbsta.r . . . . 5  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
121, 9, 10, 11eqgval 14666 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  H  C_  X )  -> 
( B  .~  C  <->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H
) ) )
136, 8, 12syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H ) ) )
14 df-3an 936 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H
)  <->  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H ) )
1513, 14syl6bb 252 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X )  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H
) ) )
16 simpr 447 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X )
)
1716biantrurd 494 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H  <->  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X
)  /\  ( (
( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H ) ) )
18 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
19 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  B  e.  X )
201, 9grpinvcl 14527 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X )
216, 19, 20syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  B
)  e.  X )
22 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  C  e.  X )
23 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  A  e.  Y )
241, 10gaass 14751 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X  /\  C  e.  X  /\  A  e.  Y )
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .(+)  ( C  .(+)  A ) ) )
2518, 21, 22, 23, 24syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  .(+)  A )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .(+)  ( C  .(+)  A ) ) )
2625eqeq1d 2291 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( ( inv g `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
( inv g `  G ) `  B
)  .(+)  ( C  .(+)  A ) )  =  A ) )
271, 10grpcl 14495 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  X
)
286, 21, 22, 27syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  X )
29 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( ( ( ( inv g `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  .(+)  A ) )
3029eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  A ) )
3130, 2elrab2 2925 . . . . 5  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  X  /\  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  A ) )
3231baib 871 . . . 4  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  X  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  A ) )
3328, 32syl 15 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  .(+)  A )  =  A ) )
341gaf 14749 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
3518, 34syl 15 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
36 fovrn 5990 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  C  e.  X  /\  A  e.  Y )  ->  ( C  .(+)  A )  e.  Y )
3735, 22, 23, 36syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( C  .(+)  A )  e.  Y )
381, 9gacan 14759 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  A  e.  Y  /\  ( C  .(+)  A )  e.  Y ) )  ->  ( ( B 
.(+)  A )  =  ( C  .(+)  A )  <->  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .(+)  ( C  .(+)  A ) )  =  A ) )
3918, 19, 23, 37, 38syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( B  .(+)  A )  =  ( C  .(+)  A )  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .(+)  ( C  .(+)  A ) )  =  A ) )
4026, 33, 393bitr4d 276 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H  <->  ( B  .(+)  A )  =  ( C  .(+)  A ) ) )
4115, 17, 403bitr2d 272 1  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( B  .(+) 
A )  =  ( C  .(+)  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  SubGrpcsubg 14615   ~QG cqg 14617    GrpAct cga 14743
This theorem is referenced by:  orbstafun  14765  orbsta  14767
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-eqg 14620  df-ga 14744
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