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Theorem gastacos 15077
Description: Write the coset relation for the stabilizer subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gasta.2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
orbsta.r  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
Assertion
Ref Expression
gastacos  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( B  .(+) 
A )  =  ( C  .(+)  A )
) )
Distinct variable groups:    u,  .(+)    u, A   
u, G    u, B    u, X    u, C
Allowed substitution hints:    .~ ( u)    H( u)    Y( u)

Proof of Theorem gastacos
StepHypRef Expression
1 gasta.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 gasta.2 . . . . . . 7  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
31, 2gastacl 15076 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
43adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
5 subgrcl 14939 . . . . 5  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  G  e.  Grp )
71subgss 14935 . . . . 5  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  C_  X
)
84, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  H  C_  X )
9 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
10 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
11 orbsta.r . . . . 5  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
121, 9, 10, 11eqgval 14979 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  H  C_  X )  -> 
( B  .~  C  <->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H
) ) )
136, 8, 12syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H ) ) )
14 df-3an 938 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H
)  <->  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H ) )
1513, 14syl6bb 253 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X )  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H
) ) )
16 simpr 448 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  e.  X  /\  C  e.  X )
)
1716biantrurd 495 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H  <->  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X
)  /\  ( (
( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H ) ) )
18 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
19 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  B  e.  X )
201, 9grpinvcl 14840 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X )
216, 19, 20syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  B
)  e.  X )
22 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  C  e.  X )
23 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  A  e.  Y )
241, 10gaass 15064 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X  /\  C  e.  X  /\  A  e.  Y )
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .(+)  ( C  .(+)  A ) ) )
2518, 21, 22, 23, 24syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  .(+)  A )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .(+)  ( C  .(+)  A ) ) )
2625eqeq1d 2443 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( ( inv g `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
( inv g `  G ) `  B
)  .(+)  ( C  .(+)  A ) )  =  A ) )
271, 10grpcl 14808 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  B
)  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  X
)
286, 21, 22, 27syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  X )
29 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  ->  (
u  .(+)  A )  =  ( ( ( ( inv g `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  .(+)  A ) )
3029eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ( ( inv g `  G
) `  B )
( +g  `  G ) C )  ->  (
( u  .(+)  A )  =  A  <->  ( (
( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  A ) )
3130, 2elrab2 3086 . . . . 5  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  X  /\  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  A ) )
3231baib 872 . . . 4  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  X  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  e.  H  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  B
) ( +g  `  G
) C )  .(+)  A )  =  A ) )
3328, 32syl 16 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H  <->  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  .(+)  A )  =  A ) )
341gaf 15062 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
3518, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
3635, 22, 23fovrnd 6210 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( C  .(+)  A )  e.  Y )
371, 9gacan 15072 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  A  e.  Y  /\  ( C  .(+)  A )  e.  Y ) )  ->  ( ( B 
.(+)  A )  =  ( C  .(+)  A )  <->  ( ( ( inv g `  G ) `  B
)  .(+)  ( C  .(+)  A ) )  =  A ) )
3818, 19, 23, 36, 37syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( B  .(+)  A )  =  ( C  .(+)  A )  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  B )  .(+)  ( C  .(+)  A ) )  =  A ) )
3926, 33, 383bitr4d 277 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( ( ( inv g `  G ) `
 B ) ( +g  `  G ) C )  e.  H  <->  ( B  .(+)  A )  =  ( C  .(+)  A ) ) )
4015, 17, 393bitr2d 273 1  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B  .~  C  <->  ( B  .(+) 
A )  =  ( C  .(+)  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13459   +g cplusg 13519   Grpcgrp 14675   inv gcminusg 14676  SubGrpcsubg 14928   ~QG cqg 14930    GrpAct cga 15056
This theorem is referenced by:  orbstafun  15078  orbsta  15080
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-subg 14931  df-eqg 14933  df-ga 15057
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