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Theorem gasubg 15110
Description: The restriction of a group action to a subgroup is a group action. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gasubg.1  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
gasubg  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) )  e.  ( H  GrpAct  Y ) )

Proof of Theorem gasubg
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gaset 15101 . . 3  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  Y  e.  _V )
2 gasubg.1 . . . 4  |-  H  =  ( Gs  S )
32subggrp 14978 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )
41, 3anim12ci 552 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( H  e.  Grp  /\  Y  e. 
_V ) )
5 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
65gaf 15103 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( (
Base `  G )  X.  Y ) --> Y )
76adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  .(+)  : ( ( Base `  G
)  X.  Y ) --> Y )
8 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
95subgss 14976 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
11 xpss1 5013 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  ( Base `  G
)  ->  ( S  X.  Y )  C_  (
( Base `  G )  X.  Y ) )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( S  X.  Y )  C_  (
( Base `  G )  X.  Y ) )
13 fssres 5639 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  : ( ( Base `  G )  X.  Y
) --> Y  /\  ( S  X.  Y )  C_  ( ( Base `  G
)  X.  Y ) )  ->  (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) : ( S  X.  Y ) --> Y )
147, 12, 13syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) : ( S  X.  Y ) --> Y )
152subgbas 14979 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
168, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
1716xpeq1d 4930 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( S  X.  Y )  =  ( ( Base `  H
)  X.  Y ) )
1817feq2d 5610 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( (  .(+) 
|`  ( S  X.  Y ) ) : ( S  X.  Y
) --> Y  <->  (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) : ( ( Base `  H
)  X.  Y ) --> Y ) )
1914, 18mpbid 203 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) : ( ( Base `  H
)  X.  Y ) --> Y )
208adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
21 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
2221subg0cl 14983 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
2320, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  e.  S )
24 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  Y )
25 ovres 6242 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  S  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( 0g `  G ) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x )  =  ( ( 0g
`  G )  .(+)  x ) )
2623, 24, 25syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( ( 0g `  G
)  .(+)  x ) )
272, 21subg0 14981 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  H ) )
2820, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  H
) )
2928oveq1d 6125 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( ( 0g `  H
) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x ) )
3021gagrpid 15102 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  x )  =  x )
3130adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  x )  =  x )
3226, 29, 313eqtr3d 2482 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  (
( 0g `  H
) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  x )
33 eqimss2 3387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  =  ( Base `  H
)  ->  ( Base `  H )  C_  S
)
3416, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( Base `  H )  C_  S
)
3534adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( Base `  H )  C_  S )
3635sselda 3334 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  y  e.  ( Base `  H
) )  ->  y  e.  S )
3735sselda 3334 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  z  e.  ( Base `  H
) )  ->  z  e.  S )
3836, 37anim12dan 812 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  ( Base `  H )  /\  z  e.  ( Base `  H
) ) )  -> 
( y  e.  S  /\  z  e.  S
) )
39 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  y  e.  S )
407ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  .(+)  : ( ( Base `  G
)  X.  Y ) --> Y )
419ad3antlr 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
42 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  z  e.  S )
4341, 42sseldd 3335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  z  e.  ( Base `  G )
)
4424adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  x  e.  Y )
4540, 43, 44fovrnd 6247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( z  .(+)  x )  e.  Y
)
46 ovres 6242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  S  /\  ( z  .(+)  x )  e.  Y )  -> 
( y (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) ( z 
.(+)  x ) )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) )
4739, 45, 46syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( y
(  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z  .(+)  x )
)  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  x ) ) )
48 ovres 6242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  S  /\  x  e.  Y )  ->  ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x )  =  ( z  .(+)  x ) )
4942, 44, 48syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( z
(  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( z 
.(+)  x ) )
5049oveq2d 6126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( y
(  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x ) )  =  ( y (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) ( z 
.(+)  x ) ) )
51 simplll 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
5241, 39sseldd 3335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  y  e.  ( Base `  G )
)
53 eqid 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
545, 53gaass 15105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
)  /\  x  e.  Y ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x )
) )
5551, 52, 43, 44, 54syl13anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) z )  .(+)  x )  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  x ) ) )
5647, 50, 553eqtr4d 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( y
(  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x ) )  =  ( ( y ( +g  `  G ) z )  .(+)  x ) )
5753subgcl 14985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S )
58573expb 1155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
)
5920, 58sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
)
60 ovres 6242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  x  e.  Y )  ->  (
( y ( +g  `  G ) z ) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( ( y ( +g  `  G ) z ) 
.(+)  x ) )
6159, 44, 60syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( ( y ( +g  `  G
) z )  .(+)  x ) )
622, 53ressplusg 13602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H ) )
6362ad3antlr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H ) )
6463oveqd 6127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  =  ( y ( +g  `  H
) z ) )
6564oveq1d 6125 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( ( y ( +g  `  H
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x ) )
6656, 61, 653eqtr2rd 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
y ( +g  `  H
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( y (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x ) ) )
6738, 66syldan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  ( Base `  H )  /\  z  e.  ( Base `  H
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  H ) z ) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x )  =  ( y ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x ) ) )
6867ralrimivva 2804 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  A. y  e.  ( Base `  H
) A. z  e.  ( Base `  H
) ( ( y ( +g  `  H
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( y (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x ) ) )
6932, 68jca 520 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( 0g `  H ) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x )  =  x  /\  A. y  e.  ( Base `  H ) A. z  e.  ( Base `  H
) ( ( y ( +g  `  H
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( y (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x ) ) ) )
7069ralrimiva 2795 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  A. x  e.  Y  ( (
( 0g `  H
) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  x  /\  A. y  e.  ( Base `  H
) A. z  e.  ( Base `  H
) ( ( y ( +g  `  H
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( y (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x ) ) ) )
7119, 70jca 520 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( (  .(+) 
|`  ( S  X.  Y ) ) : ( ( Base `  H
)  X.  Y ) --> Y  /\  A. x  e.  Y  ( (
( 0g `  H
) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  x  /\  A. y  e.  ( Base `  H
) A. z  e.  ( Base `  H
) ( ( y ( +g  `  H
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( y (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x ) ) ) ) )
72 eqid 2442 . . 3  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
73 eqid 2442 . . 3  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
74 eqid 2442 . . 3  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
7572, 73, 74isga 15099 . 2  |-  ( ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) )  e.  ( H  GrpAct  Y )  <-> 
( ( H  e. 
Grp  /\  Y  e.  _V )  /\  (
(  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) : ( ( Base `  H
)  X.  Y ) --> Y  /\  A. x  e.  Y  ( (
( 0g `  H
) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  x  /\  A. y  e.  ( Base `  H
) A. z  e.  ( Base `  H
) ( ( y ( +g  `  H
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( y (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x ) ) ) ) ) )
764, 71, 75sylanbrc 647 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) )  e.  ( H  GrpAct  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   _Vcvv 2962    C_ wss 3306    X. cxp 4905    |` cres 4909   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Basecbs 13500   ↾s cress 13501   +g cplusg 13560   0gc0g 13754   Grpcgrp 14716  SubGrpcsubg 14969    GrpAct cga 15097
This theorem is referenced by:  sylow3lem5  15296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-grp 14843  df-subg 14972  df-ga 15098
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