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Theorem gasubg 14756
Description: The restriction of a group action to a subgroup is a group action. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gasubg.1  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
gasubg  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) )  e.  ( H  GrpAct  Y ) )

Proof of Theorem gasubg
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gaset 14747 . . 3  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  Y  e.  _V )
2 gasubg.1 . . . 4  |-  H  =  ( Gs  S )
32subggrp 14624 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )
41, 3anim12ci 550 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( H  e.  Grp  /\  Y  e. 
_V ) )
5 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
65gaf 14749 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( (
Base `  G )  X.  Y ) --> Y )
76adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  .(+)  : ( ( Base `  G
)  X.  Y ) --> Y )
8 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
95subgss 14622 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
108, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
11 xpss1 4795 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  ( Base `  G
)  ->  ( S  X.  Y )  C_  (
( Base `  G )  X.  Y ) )
1210, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( S  X.  Y )  C_  (
( Base `  G )  X.  Y ) )
13 fssres 5408 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  : ( ( Base `  G )  X.  Y
) --> Y  /\  ( S  X.  Y )  C_  ( ( Base `  G
)  X.  Y ) )  ->  (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) : ( S  X.  Y ) --> Y )
147, 12, 13syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) : ( S  X.  Y ) --> Y )
152subgbas 14625 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
168, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
1716xpeq1d 4712 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( S  X.  Y )  =  ( ( Base `  H
)  X.  Y ) )
1817feq2d 5380 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( (  .(+) 
|`  ( S  X.  Y ) ) : ( S  X.  Y
) --> Y  <->  (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) : ( ( Base `  H
)  X.  Y ) --> Y ) )
1914, 18mpbid 201 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) : ( ( Base `  H
)  X.  Y ) --> Y )
208adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
21 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
2221subg0cl 14629 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
2320, 22syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  e.  S )
24 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  Y )
25 ovres 5987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  S  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( 0g `  G ) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x )  =  ( ( 0g
`  G )  .(+)  x ) )
2623, 24, 25syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( ( 0g `  G
)  .(+)  x ) )
272, 21subg0 14627 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  H ) )
2820, 27syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  H
) )
2928oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( ( 0g `  H
) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x ) )
3021gagrpid 14748 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  x )  =  x )
3130adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  x )  =  x )
3226, 29, 313eqtr3d 2323 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  (
( 0g `  H
) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  x )
33 eqimss2 3231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  =  ( Base `  H
)  ->  ( Base `  H )  C_  S
)
3416, 33syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( Base `  H )  C_  S
)
3534adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( Base `  H )  C_  S )
3635sselda 3180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  y  e.  ( Base `  H
) )  ->  y  e.  S )
3735sselda 3180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  z  e.  ( Base `  H
) )  ->  z  e.  S )
3836, 37anim12dan 810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  ( Base `  H )  /\  z  e.  ( Base `  H
) ) )  -> 
( y  e.  S  /\  z  e.  S
) )
39 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  y  e.  S )
407ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  .(+)  : ( ( Base `  G
)  X.  Y ) --> Y )
4110ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
42 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  z  e.  S )
4341, 42sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  z  e.  ( Base `  G )
)
4424adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  x  e.  Y )
45 fovrn 5990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 
.(+)  : ( ( Base `  G )  X.  Y
) --> Y  /\  z  e.  ( Base `  G
)  /\  x  e.  Y )  ->  (
z  .(+)  x )  e.  Y )
4640, 43, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( z  .(+)  x )  e.  Y
)
47 ovres 5987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  S  /\  ( z  .(+)  x )  e.  Y )  -> 
( y (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) ( z 
.(+)  x ) )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) )
4839, 46, 47syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( y
(  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z  .(+)  x )
)  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  x ) ) )
49 ovres 5987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  S  /\  x  e.  Y )  ->  ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x )  =  ( z  .(+)  x ) )
5042, 44, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( z
(  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( z 
.(+)  x ) )
5150oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( y
(  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x ) )  =  ( y (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) ( z 
.(+)  x ) ) )
52 simplll 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
5341, 39sseldd 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  y  e.  ( Base `  G )
)
54 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
555, 54gaass 14751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
)  /\  x  e.  Y ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x )
) )
5652, 53, 43, 44, 55syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) z )  .(+)  x )  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  x ) ) )
5748, 51, 563eqtr4d 2325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( y
(  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x ) )  =  ( ( y ( +g  `  G ) z )  .(+)  x ) )
5854subgcl 14631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S )
59583expb 1152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
)
6020, 59sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
)
61 ovres 5987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  x  e.  Y )  ->  (
( y ( +g  `  G ) z ) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( ( y ( +g  `  G ) z ) 
.(+)  x ) )
6260, 44, 61syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( ( y ( +g  `  G
) z )  .(+)  x ) )
63 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
642, 54ressplusg 13250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H ) )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H ) )
6665oveqd 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  =  ( y ( +g  `  H
) z ) )
6766oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( ( y ( +g  `  H
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x ) )
6857, 62, 673eqtr2rd 2322 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
y ( +g  `  H
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( y (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x ) ) )
6938, 68syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  /\  (
y  e.  ( Base `  H )  /\  z  e.  ( Base `  H
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  H ) z ) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x )  =  ( y ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x ) ) )
7069ralrimivva 2635 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  A. y  e.  ( Base `  H
) A. z  e.  ( Base `  H
) ( ( y ( +g  `  H
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( y (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x ) ) )
7132, 70jca 518 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G
) )  /\  x  e.  Y )  ->  (
( ( 0g `  H ) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x )  =  x  /\  A. y  e.  ( Base `  H ) A. z  e.  ( Base `  H
) ( ( y ( +g  `  H
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( y (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x ) ) ) )
7271ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  A. x  e.  Y  ( (
( 0g `  H
) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  x  /\  A. y  e.  ( Base `  H
) A. z  e.  ( Base `  H
) ( ( y ( +g  `  H
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( y (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x ) ) ) )
7319, 72jca 518 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( (  .(+) 
|`  ( S  X.  Y ) ) : ( ( Base `  H
)  X.  Y ) --> Y  /\  A. x  e.  Y  ( (
( 0g `  H
) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  x  /\  A. y  e.  ( Base `  H
) A. z  e.  ( Base `  H
) ( ( y ( +g  `  H
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( y (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x ) ) ) ) )
74 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
75 eqid 2283 . . 3  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
76 eqid 2283 . . 3  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
7774, 75, 76isga 14745 . 2  |-  ( ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) )  e.  ( H  GrpAct  Y )  <-> 
( ( H  e. 
Grp  /\  Y  e.  _V )  /\  (
(  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) : ( ( Base `  H
)  X.  Y ) --> Y  /\  A. x  e.  Y  ( (
( 0g `  H
) (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  x  /\  A. y  e.  ( Base `  H
) A. z  e.  ( Base `  H
) ( ( y ( +g  `  H
) z ) ( 
.(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) x )  =  ( y (  .(+)  |`  ( S  X.  Y ) ) ( z (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) ) x ) ) ) ) ) )
784, 73, 77sylanbrc 645 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  (  .(+)  |`  ( S  X.  Y
) )  e.  ( H  GrpAct  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    X. cxp 4687    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362  SubGrpcsubg 14615    GrpAct cga 14743
This theorem is referenced by:  sylow3lem5  14942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-subg 14618  df-ga 14744
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