MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcd0val Structured version   Unicode version

Theorem gcd0val 13010
Description: The value, by convention, of the  gcd operator when both operands are 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcd0val  |-  ( 0  gcd  0 )  =  0

Proof of Theorem gcd0val
StepHypRef Expression
1 0z 10294 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 gcdval 13009 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( 0  gcd  0
)  =  if ( ( 0  =  0  /\  0  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  0  /\  n  ||  0 ) } ,  RR ,  <  ) ) )
31, 1, 2mp2an 655 . 2  |-  ( 0  gcd  0 )  =  if ( ( 0  =  0  /\  0  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  0  /\  n  ||  0
) } ,  RR ,  <  ) )
4 eqid 2437 . . 3  |-  0  =  0
5 iftrue 3746 . . 3  |-  ( ( 0  =  0  /\  0  =  0 )  ->  if ( ( 0  =  0  /\  0  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  0  /\  n  ||  0
) } ,  RR ,  <  ) )  =  0 )
64, 4, 5mp2an 655 . 2  |-  if ( ( 0  =  0  /\  0  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  0  /\  n  ||  0 ) } ,  RR ,  <  ) )  =  0
73, 6eqtri 2457 1  |-  ( 0  gcd  0 )  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2710   ifcif 3740   class class class wbr 4213  (class class class)co 6082   supcsup 7446   RRcr 8990   0cc0 8991    < clt 9121   ZZcz 10283    || cdivides 12853    gcd cgcd 13007
This theorem is referenced by:  gcddvds  13016  gcdcl  13018  gcdeq0  13022  gcd0id  13024  bezout  13043  mulgcd  13047  nn0gcdsq  13145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-ltxr 9126  df-neg 9295  df-z 10284  df-gcd 13008
  Copyright terms: Public domain W3C validator