MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdaddm Unicode version

Theorem gcdaddm 12957
Description: Adding a multiple of one operand of the  gcd operator to the other does not alter the result. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdaddm  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N )  =  ( M  gcd  ( N  +  ( K  x.  M ) ) ) )

Proof of Theorem gcdaddm
StepHypRef Expression
1 oveq1 6028 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( K  x.  M
)  =  ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  M ) )
21oveq1d 6036 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ( K  x.  M )  +  N
)  =  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 )  x.  M
)  +  N ) )
32oveq2d 6037 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( M  gcd  (
( K  x.  M
)  +  N ) )  =  ( M  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  M )  +  N ) ) )
43eqeq2d 2399 . . 3  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ( M  gcd  N )  =  ( M  gcd  ( ( K  x.  M )  +  N ) )  <->  ( M  gcd  N )  =  ( M  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 )  x.  M
)  +  N ) ) ) )
5 oveq1 6028 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( M  gcd  N
)  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  N ) )
6 id 20 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
7 oveq2 6029 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  M )  =  ( if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
87oveq1d 6036 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  M )  +  N )  =  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  +  N ) )
96, 8oveq12d 6039 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( M  gcd  (
( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  M )  +  N
) )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  gcd  (
( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  +  N ) ) )
105, 9eqeq12d 2402 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( M  gcd  N )  =  ( M  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  M )  +  N ) )  <->  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  N )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  +  N ) ) ) )
11 oveq2 6029 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 )  -> 
( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd 
N )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  gcd  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 ) ) )
12 oveq2 6029 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 )  -> 
( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  +  N )  =  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  +  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 ) ) )
1312oveq2d 6037 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 )  -> 
( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  +  N ) )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  +  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 ) ) ) )
1411, 13eqeq12d 2402 . . 3  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 )  -> 
( ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  N )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  +  N ) )  <-> 
( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd 
if ( N  e.  ZZ ,  N , 
0 ) )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  +  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 ) ) ) ) )
15 0z 10226 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
1615elimel 3735 . . . 4  |-  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  e.  ZZ
1715elimel 3735 . . . 4  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
1815elimel 3735 . . . 4  |-  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 )  e.  ZZ
1916, 17, 18gcdaddmlem 12956 . . 3  |-  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 ) )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  +  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 ) ) )
204, 10, 14, 19dedth3h 3726 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N )  =  ( M  gcd  (
( K  x.  M
)  +  N ) ) )
21 zcn 10220 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
22 zcn 10220 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
23 mulcl 9008 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  x.  M
)  e.  CC )
2421, 22, 23syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  M
)  e.  CC )
25 zcn 10220 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
26 addcom 9185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  x.  M
)  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( K  x.  M )  +  N
)  =  ( N  +  ( K  x.  M ) ) )
2724, 25, 26syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  M )  +  N )  =  ( N  +  ( K  x.  M ) ) )
28273impa 1148 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( K  x.  M
)  +  N )  =  ( N  +  ( K  x.  M
) ) )
2928oveq2d 6037 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  ( ( K  x.  M )  +  N ) )  =  ( M  gcd  ( N  +  ( K  x.  M ) ) ) )
3020, 29eqtrd 2420 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N )  =  ( M  gcd  ( N  +  ( K  x.  M ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ifcif 3683  (class class class)co 6021   CCcc 8922   0cc0 8924    + caddc 8927    x. cmul 8929   ZZcz 10215    gcd cgcd 12934
This theorem is referenced by:  gcdadd  12958  gcdid  12959  modgcd  12964  gcdmultiple  12978  pythagtriplem4  13121  gcdi  13337  pgpfac1lem2  15561
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-dvds 12781  df-gcd 12935
  Copyright terms: Public domain W3C validator