MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdaddm Structured version   Unicode version

Theorem gcdaddm 13021
Description: Adding a multiple of one operand of the  gcd operator to the other does not alter the result. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdaddm  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N )  =  ( M  gcd  ( N  +  ( K  x.  M ) ) ) )

Proof of Theorem gcdaddm
StepHypRef Expression
1 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( K  x.  M
)  =  ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  M ) )
21oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ( K  x.  M )  +  N
)  =  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 )  x.  M
)  +  N ) )
32oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( M  gcd  (
( K  x.  M
)  +  N ) )  =  ( M  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  M )  +  N ) ) )
43eqeq2d 2446 . . 3  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ( M  gcd  N )  =  ( M  gcd  ( ( K  x.  M )  +  N ) )  <->  ( M  gcd  N )  =  ( M  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 )  x.  M
)  +  N ) ) ) )
5 oveq1 6080 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( M  gcd  N
)  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  N ) )
6 id 20 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
7 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  M )  =  ( if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
87oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  M )  +  N )  =  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  +  N ) )
96, 8oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( M  gcd  (
( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  M )  +  N
) )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  gcd  (
( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  +  N ) ) )
105, 9eqeq12d 2449 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( M  gcd  N )  =  ( M  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  M )  +  N ) )  <->  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  N )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  +  N ) ) ) )
11 oveq2 6081 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 )  -> 
( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd 
N )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  gcd  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 ) ) )
12 oveq2 6081 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 )  -> 
( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  +  N )  =  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  +  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 ) ) )
1312oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 )  -> 
( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  +  N ) )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  +  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 ) ) ) )
1411, 13eqeq12d 2449 . . 3  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 )  -> 
( ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  N )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  +  N ) )  <-> 
( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd 
if ( N  e.  ZZ ,  N , 
0 ) )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  +  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 ) ) ) ) )
15 0z 10285 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
1615elimel 3783 . . . 4  |-  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  e.  ZZ
1715elimel 3783 . . . 4  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
1815elimel 3783 . . . 4  |-  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 )  e.  ZZ
1916, 17, 18gcdaddmlem 13020 . . 3  |-  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 ) )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  gcd  ( ( if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  x.  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  +  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  0 ) ) )
204, 10, 14, 19dedth3h 3774 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N )  =  ( M  gcd  (
( K  x.  M
)  +  N ) ) )
21 zcn 10279 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
22 zcn 10279 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
23 mulcl 9066 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  x.  M
)  e.  CC )
2421, 22, 23syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  M
)  e.  CC )
25 zcn 10279 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
26 addcom 9244 . . . . 5  |-  ( ( ( K  x.  M
)  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( K  x.  M )  +  N
)  =  ( N  +  ( K  x.  M ) ) )
2724, 25, 26syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  M )  +  N )  =  ( N  +  ( K  x.  M ) ) )
28273impa 1148 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( K  x.  M
)  +  N )  =  ( N  +  ( K  x.  M
) ) )
2928oveq2d 6089 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  ( ( K  x.  M )  +  N ) )  =  ( M  gcd  ( N  +  ( K  x.  M ) ) ) )
3020, 29eqtrd 2467 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N )  =  ( M  gcd  ( N  +  ( K  x.  M ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3731  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982    + caddc 8985    x. cmul 8987   ZZcz 10274    gcd cgcd 12998
This theorem is referenced by:  gcdadd  13022  gcdid  13023  modgcd  13028  gcdmultiple  13042  pythagtriplem4  13185  gcdi  13401  pgpfac1lem2  15625
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-gcd 12999
  Copyright terms: Public domain W3C validator