MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdcl Unicode version

Theorem gcdcl 12743
Description: Closure of the  gcd operator. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdcl  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem gcdcl
StepHypRef Expression
1 oveq12 5909 . . . . 5  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( M  gcd  N )  =  ( 0  gcd  0 ) )
2 gcd0val 12735 . . . . 5  |-  ( 0  gcd  0 )  =  0
31, 2syl6eq 2364 . . . 4  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( M  gcd  N )  =  0 )
4 0nn0 10027 . . . 4  |-  0  e.  NN0
53, 4syl6eqel 2404 . . 3  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( M  gcd  N )  e.  NN0 )
65adantl 452 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  -> 
( M  gcd  N
)  e.  NN0 )
7 gcdn0cl 12740 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( M  gcd  N )  e.  NN )
87nnnn0d 10065 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( M  gcd  N )  e.  NN0 )
96, 8pm2.61dan 766 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701  (class class class)co 5900   0cc0 8782   NN0cn0 10012   ZZcz 10071    gcd cgcd 12732
This theorem is referenced by:  gcdcld  12744  gcdf  12745  gcdn0gt0  12748  gcd0id  12749  gcdneg  12752  gcdaddmlem  12754  dvdsgcdb  12770  gcdass  12771  mulgcd  12772  absmulgcd  12773  mulgcdr  12774  gcddiv  12775  gcdeq  12778  dvdssqlem  12785  qredeu  12833  divnumden  12866  coprimeprodsq  12909  pc2dvds  12978  qqhval2lem  23560  bezoutr  26220  bezoutr1  26221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-dvds 12579  df-gcd 12733
  Copyright terms: Public domain W3C validator