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Theorem gcdcllem1 12690
Description: Lemma for gcdn0cl 12693, gcddvds 12694 and dvdslegcd 12695. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
gcdcllem1.1  |-  S  =  { z  e.  ZZ  |  A. n  e.  A  z  ||  n }
Assertion
Ref Expression
gcdcllem1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  e.  A  n  =/=  0 )  ->  ( S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
Distinct variable groups:    A, n, x, y, z    x, S
Allowed substitution hints:    S( y, z, n)

Proof of Theorem gcdcllem1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10053 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
2 ssel 3174 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  ZZ ) )
3 1dvds 12543 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  1  ||  n )
42, 3syl6 29 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( n  e.  A  ->  1  ||  n ) )
54ralrimiv 2625 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A. n  e.  A  1  ||  n )
6 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
z  ||  n  <->  1  ||  n ) )
76ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  ( A. n  e.  A  z  ||  n  <->  A. n  e.  A  1  ||  n ) )
8 gcdcllem1.1 . . . . . . 7  |-  S  =  { z  e.  ZZ  |  A. n  e.  A  z  ||  n }
97, 8elrab2 2925 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  S  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  A. n  e.  A  1  ||  n ) )
109biimpri 197 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  A. n  e.  A  1 
||  n )  -> 
1  e.  S )
111, 5, 10sylancr 644 . . . 4  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  1  e.  S )
12 ne0i 3461 . . . 4  |-  ( 1  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
1311, 12syl 15 . . 3  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  S  =/=  (/) )
1413adantr 451 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  e.  A  n  =/=  0 )  ->  S  =/=  (/) )
15 neeq1 2454 . . . 4  |-  ( n  =  w  ->  (
n  =/=  0  <->  w  =/=  0 ) )
1615cbvrexv 2765 . . 3  |-  ( E. n  e.  A  n  =/=  0  <->  E. w  e.  A  w  =/=  0 )
17 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
z  ||  n  <->  y  ||  n ) )
1817ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  ( A. n  e.  A  z  ||  n  <->  A. n  e.  A  y  ||  n ) )
1918, 8elrab2 2925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  ZZ  /\  A. n  e.  A  y  ||  n ) )
2019simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  S  ->  A. n  e.  A  y  ||  n )
2120adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  y  e.  S )  ->  A. n  e.  A  y  ||  n )
2219simplbi 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  ZZ )
23 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ZZ )
24 dvdsleabs 12575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  n  =/=  0 )  ->  (
y  ||  n  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) )
25243expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  =/=  0  ->  ( y  ||  n  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )
2623, 25sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )
)  ->  ( n  =/=  0  ->  ( y 
||  n  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
2726anassrs 629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  A  C_  ZZ )  /\  n  e.  A
)  ->  ( n  =/=  0  ->  ( y 
||  n  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
2827com23 72 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  A  C_  ZZ )  /\  n  e.  A
)  ->  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
2928ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  A  C_  ZZ )  ->  A. n  e.  A  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )
3029ancoms 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  A. n  e.  A  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
3122, 30sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  y  e.  S )  ->  A. n  e.  A  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
32 r19.26 2675 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  A  (
y  ||  n  /\  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )  <->  ( A. n  e.  A  y  ||  n  /\  A. n  e.  A  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) ) )
33 pm3.35 570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  ||  n  /\  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
3433ralimi 2618 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  A  (
y  ||  n  /\  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )  ->  A. n  e.  A  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
3532, 34sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  A  y  ||  n  /\  A. n  e.  A  (
y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  n ) ) ) )  ->  A. n  e.  A  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
3621, 31, 35syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  y  e.  S )  ->  A. n  e.  A  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
3736ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A. y  e.  S  A. n  e.  A  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
38 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  w  ->  ( abs `  n )  =  ( abs `  w
) )
3938breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  w  ->  (
y  <_  ( abs `  n )  <->  y  <_  ( abs `  w ) ) )
4015, 39imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  w  ->  (
( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) )  <->  ( w  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  w
) ) ) )
4140cbvralv 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  A  (
n  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  n ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  w
) ) )
4241ralbii 2567 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  A. n  e.  A  (
n  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  n ) )  <->  A. y  e.  S  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  w
) ) )
43 ralcom 2700 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  A. w  e.  A  (
w  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  w ) )  <->  A. w  e.  A  A. y  e.  S  ( w  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  w
) ) )
44 r19.21v 2630 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  S  (
w  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  w ) )  <->  ( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w ) ) )
4544ralbii 2567 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  A  A. y  e.  S  (
w  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w ) ) )
4642, 43, 453bitri 262 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  S  A. n  e.  A  (
n  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  n ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w ) ) )
4737, 46sylib 188 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w ) ) )
48 ssel2 3175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  ZZ )
49 nn0abscl 11797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ZZ  ->  ( abs `  w )  e. 
NN0 )
5048, 49syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  ( abs `  w )  e. 
NN0 )
5150nn0zd 10115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  ( abs `  w )  e.  ZZ )
52 breq2 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( abs `  w
)  ->  ( y  <_  x  <->  y  <_  ( abs `  w ) ) )
5352ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( abs `  w
)  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  x  <->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
) ) )
5453adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  /\  x  =  ( abs `  w ) )  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  x  <->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
) ) )
5551, 54rspcedv 2888 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
)  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
5655imim2d 48 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  (
( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
) )  ->  (
w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x ) ) )
5756ralimdva 2621 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( A. w  e.  A  (
w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
) )  ->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) ) )
5847, 57mpd 14 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
59 r19.23v 2659 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  A  (
w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x )  <->  ( E. w  e.  A  w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
6058, 59sylib 188 . . . 4  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( E. w  e.  A  w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
6160imp 418 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. w  e.  A  w  =/=  0 )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)
6216, 61sylan2b 461 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  e.  A  n  =/=  0 )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)
6314, 62jca 518 1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  e.  A  n  =/=  0 )  ->  ( S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   0cc0 8737   1c1 8738    <_ cle 8868   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   abscabs 11719    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  gcdcllem3  12692
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532
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