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Theorem gcdcllem1 13011
Description: Lemma for gcdn0cl 13014, gcddvds 13015 and dvdslegcd 13016. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
gcdcllem1.1  |-  S  =  { z  e.  ZZ  |  A. n  e.  A  z  ||  n }
Assertion
Ref Expression
gcdcllem1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  e.  A  n  =/=  0 )  ->  ( S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
Distinct variable groups:    A, n, x, y, z    x, S
Allowed substitution hints:    S( y, z, n)

Proof of Theorem gcdcllem1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10311 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
2 ssel 3342 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  ZZ ) )
3 1dvds 12864 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  1  ||  n )
42, 3syl6 31 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( n  e.  A  ->  1  ||  n ) )
54ralrimiv 2788 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A. n  e.  A  1  ||  n )
6 breq1 4215 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
z  ||  n  <->  1  ||  n ) )
76ralbidv 2725 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  ( A. n  e.  A  z  ||  n  <->  A. n  e.  A  1  ||  n ) )
8 gcdcllem1.1 . . . . . . 7  |-  S  =  { z  e.  ZZ  |  A. n  e.  A  z  ||  n }
97, 8elrab2 3094 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  S  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  A. n  e.  A  1  ||  n ) )
109biimpri 198 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  A. n  e.  A  1 
||  n )  -> 
1  e.  S )
111, 5, 10sylancr 645 . . . 4  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  1  e.  S )
12 ne0i 3634 . . . 4  |-  ( 1  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  S  =/=  (/) )
1413adantr 452 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  e.  A  n  =/=  0 )  ->  S  =/=  (/) )
15 neeq1 2609 . . . 4  |-  ( n  =  w  ->  (
n  =/=  0  <->  w  =/=  0 ) )
1615cbvrexv 2933 . . 3  |-  ( E. n  e.  A  n  =/=  0  <->  E. w  e.  A  w  =/=  0 )
17 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
z  ||  n  <->  y  ||  n ) )
1817ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  ( A. n  e.  A  z  ||  n  <->  A. n  e.  A  y  ||  n ) )
1918, 8elrab2 3094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  ZZ  /\  A. n  e.  A  y  ||  n ) )
2019simprbi 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  S  ->  A. n  e.  A  y  ||  n )
2120adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  y  e.  S )  ->  A. n  e.  A  y  ||  n )
2219simplbi 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  ZZ )
23 ssel2 3343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ZZ )
24 dvdsleabs 12896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  n  =/=  0 )  ->  (
y  ||  n  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) )
25243expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  =/=  0  ->  ( y  ||  n  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )
2623, 25sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )
)  ->  ( n  =/=  0  ->  ( y 
||  n  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
2726anassrs 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  A  C_  ZZ )  /\  n  e.  A
)  ->  ( n  =/=  0  ->  ( y 
||  n  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
2827com23 74 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  A  C_  ZZ )  /\  n  e.  A
)  ->  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
2928ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  A  C_  ZZ )  ->  A. n  e.  A  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )
3029ancoms 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  A. n  e.  A  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
3122, 30sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  y  e.  S )  ->  A. n  e.  A  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
32 r19.26 2838 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  A  (
y  ||  n  /\  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )  <->  ( A. n  e.  A  y  ||  n  /\  A. n  e.  A  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) ) )
33 pm3.35 571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  ||  n  /\  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
3433ralimi 2781 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  A  (
y  ||  n  /\  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )  ->  A. n  e.  A  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
3532, 34sylbir 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  A  y  ||  n  /\  A. n  e.  A  (
y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  n ) ) ) )  ->  A. n  e.  A  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
3621, 31, 35syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  y  e.  S )  ->  A. n  e.  A  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
3736ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A. y  e.  S  A. n  e.  A  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
38 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  w  ->  ( abs `  n )  =  ( abs `  w
) )
3938breq2d 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  w  ->  (
y  <_  ( abs `  n )  <->  y  <_  ( abs `  w ) ) )
4015, 39imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  w  ->  (
( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) )  <->  ( w  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  w
) ) ) )
4140cbvralv 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  A  (
n  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  n ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  w
) ) )
4241ralbii 2729 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  A. n  e.  A  (
n  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  n ) )  <->  A. y  e.  S  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  w
) ) )
43 ralcom 2868 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  A. w  e.  A  (
w  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  w ) )  <->  A. w  e.  A  A. y  e.  S  ( w  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  w
) ) )
44 r19.21v 2793 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  S  (
w  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  w ) )  <->  ( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w ) ) )
4544ralbii 2729 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  A  A. y  e.  S  (
w  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w ) ) )
4642, 43, 453bitri 263 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  S  A. n  e.  A  (
n  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  n ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w ) ) )
4737, 46sylib 189 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w ) ) )
48 ssel2 3343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  ZZ )
49 nn0abscl 12117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ZZ  ->  ( abs `  w )  e. 
NN0 )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  ( abs `  w )  e. 
NN0 )
5150nn0zd 10373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  ( abs `  w )  e.  ZZ )
52 breq2 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( abs `  w
)  ->  ( y  <_  x  <->  y  <_  ( abs `  w ) ) )
5352ralbidv 2725 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( abs `  w
)  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  x  <->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
) ) )
5453adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  /\  x  =  ( abs `  w ) )  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  x  <->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
) ) )
5551, 54rspcedv 3056 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
)  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
5655imim2d 50 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  (
( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
) )  ->  (
w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x ) ) )
5756ralimdva 2784 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( A. w  e.  A  (
w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
) )  ->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) ) )
5847, 57mpd 15 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
59 r19.23v 2822 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  A  (
w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x )  <->  ( E. w  e.  A  w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
6058, 59sylib 189 . . . 4  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( E. w  e.  A  w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
6160imp 419 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. w  e.  A  w  =/=  0 )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)
6216, 61sylan2b 462 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  e.  A  n  =/=  0 )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)
6314, 62jca 519 1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  e.  A  n  =/=  0 )  ->  ( S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   0cc0 8990   1c1 8991    <_ cle 9121   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   abscabs 12039    || cdivides 12852
This theorem is referenced by:  gcdcllem3  13013
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853
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