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Theorem gcdcllem1 12706
Description: Lemma for gcdn0cl 12709, gcddvds 12710 and dvdslegcd 12711. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
gcdcllem1.1  |-  S  =  { z  e.  ZZ  |  A. n  e.  A  z  ||  n }
Assertion
Ref Expression
gcdcllem1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  e.  A  n  =/=  0 )  ->  ( S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
Distinct variable groups:    A, n, x, y, z    x, S
Allowed substitution hints:    S( y, z, n)

Proof of Theorem gcdcllem1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10069 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
2 ssel 3187 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  ZZ ) )
3 1dvds 12559 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  1  ||  n )
42, 3syl6 29 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( n  e.  A  ->  1  ||  n ) )
54ralrimiv 2638 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A. n  e.  A  1  ||  n )
6 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
z  ||  n  <->  1  ||  n ) )
76ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  ( A. n  e.  A  z  ||  n  <->  A. n  e.  A  1  ||  n ) )
8 gcdcllem1.1 . . . . . . 7  |-  S  =  { z  e.  ZZ  |  A. n  e.  A  z  ||  n }
97, 8elrab2 2938 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  S  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  A. n  e.  A  1  ||  n ) )
109biimpri 197 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  A. n  e.  A  1 
||  n )  -> 
1  e.  S )
111, 5, 10sylancr 644 . . . 4  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  1  e.  S )
12 ne0i 3474 . . . 4  |-  ( 1  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
1311, 12syl 15 . . 3  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  S  =/=  (/) )
1413adantr 451 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  e.  A  n  =/=  0 )  ->  S  =/=  (/) )
15 neeq1 2467 . . . 4  |-  ( n  =  w  ->  (
n  =/=  0  <->  w  =/=  0 ) )
1615cbvrexv 2778 . . 3  |-  ( E. n  e.  A  n  =/=  0  <->  E. w  e.  A  w  =/=  0 )
17 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
z  ||  n  <->  y  ||  n ) )
1817ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  ( A. n  e.  A  z  ||  n  <->  A. n  e.  A  y  ||  n ) )
1918, 8elrab2 2938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  ZZ  /\  A. n  e.  A  y  ||  n ) )
2019simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  S  ->  A. n  e.  A  y  ||  n )
2120adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  y  e.  S )  ->  A. n  e.  A  y  ||  n )
2219simplbi 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  ZZ )
23 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ZZ )
24 dvdsleabs 12591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  n  =/=  0 )  ->  (
y  ||  n  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) )
25243expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  =/=  0  ->  ( y  ||  n  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )
2623, 25sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )
)  ->  ( n  =/=  0  ->  ( y 
||  n  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
2726anassrs 629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  A  C_  ZZ )  /\  n  e.  A
)  ->  ( n  =/=  0  ->  ( y 
||  n  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
2827com23 72 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  A  C_  ZZ )  /\  n  e.  A
)  ->  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
2928ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  A  C_  ZZ )  ->  A. n  e.  A  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )
3029ancoms 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  A. n  e.  A  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
3122, 30sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  y  e.  S )  ->  A. n  e.  A  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n
) ) ) )
32 r19.26 2688 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  A  (
y  ||  n  /\  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )  <->  ( A. n  e.  A  y  ||  n  /\  A. n  e.  A  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) ) )
33 pm3.35 570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  ||  n  /\  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
3433ralimi 2631 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  A  (
y  ||  n  /\  ( y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) ) ) )  ->  A. n  e.  A  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
3532, 34sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  A  y  ||  n  /\  A. n  e.  A  (
y  ||  n  ->  ( n  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  n ) ) ) )  ->  A. n  e.  A  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
3621, 31, 35syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  y  e.  S )  ->  A. n  e.  A  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
3736ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A. y  e.  S  A. n  e.  A  ( n  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  n
) ) )
38 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  w  ->  ( abs `  n )  =  ( abs `  w
) )
3938breq2d 4051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  w  ->  (
y  <_  ( abs `  n )  <->  y  <_  ( abs `  w ) ) )
4015, 39imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  w  ->  (
( n  =/=  0  ->  y  <_  ( abs `  n ) )  <->  ( w  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  w
) ) ) )
4140cbvralv 2777 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  A  (
n  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  n ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  w
) ) )
4241ralbii 2580 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  A. n  e.  A  (
n  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  n ) )  <->  A. y  e.  S  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  w
) ) )
43 ralcom 2713 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  A. w  e.  A  (
w  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  w ) )  <->  A. w  e.  A  A. y  e.  S  ( w  =/=  0  ->  y  <_ 
( abs `  w
) ) )
44 r19.21v 2643 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  S  (
w  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  w ) )  <->  ( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w ) ) )
4544ralbii 2580 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  A  A. y  e.  S  (
w  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w ) ) )
4642, 43, 453bitri 262 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  S  A. n  e.  A  (
n  =/=  0  -> 
y  <_  ( abs `  n ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w ) ) )
4737, 46sylib 188 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w ) ) )
48 ssel2 3188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  ZZ )
49 nn0abscl 11813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ZZ  ->  ( abs `  w )  e. 
NN0 )
5048, 49syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  ( abs `  w )  e. 
NN0 )
5150nn0zd 10131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  ( abs `  w )  e.  ZZ )
52 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( abs `  w
)  ->  ( y  <_  x  <->  y  <_  ( abs `  w ) ) )
5352ralbidv 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( abs `  w
)  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  x  <->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
) ) )
5453adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  /\  x  =  ( abs `  w ) )  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  x  <->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
) ) )
5551, 54rspcedv 2901 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
)  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
5655imim2d 48 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  w  e.  A )  ->  (
( w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
) )  ->  (
w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x ) ) )
5756ralimdva 2634 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( A. w  e.  A  (
w  =/=  0  ->  A. y  e.  S  y  <_  ( abs `  w
) )  ->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) ) )
5847, 57mpd 14 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A. w  e.  A  ( w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
59 r19.23v 2672 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  A  (
w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x )  <->  ( E. w  e.  A  w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
6058, 59sylib 188 . . . 4  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( E. w  e.  A  w  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
6160imp 418 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. w  e.  A  w  =/=  0 )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)
6216, 61sylan2b 461 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  e.  A  n  =/=  0 )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)
6314, 62jca 518 1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  e.  A  n  =/=  0 )  ->  ( S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   0cc0 8753   1c1 8754    <_ cle 8884   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   abscabs 11735    || cdivides 12547
This theorem is referenced by:  gcdcllem3  12708
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548
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