MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdcom Structured version   Unicode version

Theorem gcdcom 13012
Description: The  gcd operator is commutative. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdcom  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  =  ( N  gcd  M ) )

Proof of Theorem gcdcom
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 438 . . 3  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  <-> 
( N  =  0  /\  M  =  0 ) )
2 ancom 438 . . . . . 6  |-  ( ( n  ||  M  /\  n  ||  N )  <->  ( n  ||  N  /\  n  ||  M ) )
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( n  ||  M  /\  n  ||  N )  <-> 
( n  ||  N  /\  n  ||  M ) ) )
43rabbiia 2938 . . . 4  |-  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) }  =  { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  N  /\  n  ||  M
) }
54supeq1i 7444 . . 3  |-  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  M  /\  n  ||  N
) } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  N  /\  n  ||  M
) } ,  RR ,  <  )
61, 5ifbieq2i 3750 . 2  |-  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  if ( ( N  =  0  /\  M  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  N  /\  n  ||  M
) } ,  RR ,  <  ) )
7 gcdval 13000 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  =  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) ) )
8 gcdval 13000 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  gcd  M
)  =  if ( ( N  =  0  /\  M  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  N  /\  n  ||  M ) } ,  RR ,  <  ) ) )
98ancoms 440 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  gcd  M
)  =  if ( ( N  =  0  /\  M  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  N  /\  n  ||  M ) } ,  RR ,  <  ) ) )
106, 7, 93eqtr4a 2493 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  =  ( N  gcd  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   ifcif 3731   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   supcsup 7437   RRcr 8981   0cc0 8982    < clt 9112   ZZcz 10274    || cdivides 12844    gcd cgcd 12998
This theorem is referenced by:  gcdid0  13016  neggcd  13019  gcdabs2  13027  modgcd  13028  1gcd  13029  rplpwr  13048  rppwr  13049  eucalginv  13067  qredeq  13098  rpexp12i  13114  phiprmpw  13157  eulerthlem1  13162  eulerthlem2  13163  fermltl  13165  prmdiv  13166  coprimeprodsq  13175  coprimeprodsq2  13176  pythagtriplem3  13184  pythagtrip  13200  pcgcd  13243  prmpwdvds  13264  pockthlem  13265  gcdi  13401  gcdmodi  13402  1259lem5  13446  2503lem3  13450  4001lem4  13455  odinv  15189  gexexlem  15459  ablfacrp2  15617  pgpfac1lem2  15625  dvdsmulf1o  20971  perfect1  21004  perfectlem1  21005  lgslem1  21072  lgsdirnn0  21115  lgsqrlem2  21118  lgsqr  21122  lgsquad2lem2  21135  lgsquad2  21136  lgsquad3  21137  2sqlem8  21148  gcd32  25362  nn0prpwlem  26316  jm2.19lem2  27052  jm2.20nn  27059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-mulcl 9044  ax-i2m1 9050  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117  df-gcd 12999
  Copyright terms: Public domain W3C validator