MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdcom Unicode version

Theorem gcdcom 12699
Description: The  gcd operator is commutative. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdcom  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  =  ( N  gcd  M ) )

Proof of Theorem gcdcom
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 437 . . 3  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  <-> 
( N  =  0  /\  M  =  0 ) )
2 ancom 437 . . . . . 6  |-  ( ( n  ||  M  /\  n  ||  N )  <->  ( n  ||  N  /\  n  ||  M ) )
32a1i 10 . . . . 5  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( n  ||  M  /\  n  ||  N )  <-> 
( n  ||  N  /\  n  ||  M ) ) )
43rabbiia 2778 . . . 4  |-  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) }  =  { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  N  /\  n  ||  M
) }
54supeq1i 7200 . . 3  |-  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  M  /\  n  ||  N
) } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  N  /\  n  ||  M
) } ,  RR ,  <  )
61, 5ifbieq2i 3584 . 2  |-  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  if ( ( N  =  0  /\  M  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  N  /\  n  ||  M
) } ,  RR ,  <  ) )
7 gcdval 12687 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  =  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) ) )
8 gcdval 12687 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  gcd  M
)  =  if ( ( N  =  0  /\  M  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  N  /\  n  ||  M ) } ,  RR ,  <  ) ) )
98ancoms 439 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  gcd  M
)  =  if ( ( N  =  0  /\  M  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  N  /\  n  ||  M ) } ,  RR ,  <  ) ) )
106, 7, 93eqtr4a 2341 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  =  ( N  gcd  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   ifcif 3565   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737    < clt 8867   ZZcz 10024    || cdivides 12531    gcd cgcd 12685
This theorem is referenced by:  gcdid0  12703  neggcd  12706  gcdabs2  12714  modgcd  12715  1gcd  12716  rplpwr  12735  rppwr  12736  eucalginv  12754  qredeq  12785  rpexp12i  12801  phiprmpw  12844  eulerthlem1  12849  eulerthlem2  12850  fermltl  12852  prmdiv  12853  coprimeprodsq  12862  coprimeprodsq2  12863  pythagtriplem3  12871  pythagtrip  12887  pcgcd  12930  prmpwdvds  12951  pockthlem  12952  gcdi  13088  gcdmodi  13089  1259lem5  13133  2503lem3  13137  4001lem4  13142  odinv  14874  gexexlem  15144  ablfacrp2  15302  pgpfac1lem2  15310  dvdsmulf1o  20434  perfect1  20467  perfectlem1  20468  lgslem1  20535  lgsdirnn0  20578  lgsqrlem2  20581  lgsqr  20585  lgsquad2lem2  20598  lgsquad2  20599  lgsquad3  20600  2sqlem8  20611  gcd32  24104  nn0prpwlem  26238  jm2.19lem2  27083  jm2.20nn  27090
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-mulcl 8799  ax-i2m1 8805  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-gcd 12686
  Copyright terms: Public domain W3C validator