MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdcom Unicode version

Theorem gcdcom 12947
Description: The  gcd operator is commutative. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdcom  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  =  ( N  gcd  M ) )

Proof of Theorem gcdcom
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 438 . . 3  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  <-> 
( N  =  0  /\  M  =  0 ) )
2 ancom 438 . . . . . 6  |-  ( ( n  ||  M  /\  n  ||  N )  <->  ( n  ||  N  /\  n  ||  M ) )
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( n  ||  M  /\  n  ||  N )  <-> 
( n  ||  N  /\  n  ||  M ) ) )
43rabbiia 2889 . . . 4  |-  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) }  =  { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  N  /\  n  ||  M
) }
54supeq1i 7387 . . 3  |-  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  M  /\  n  ||  N
) } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  N  /\  n  ||  M
) } ,  RR ,  <  )
61, 5ifbieq2i 3701 . 2  |-  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  if ( ( N  =  0  /\  M  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  N  /\  n  ||  M
) } ,  RR ,  <  ) )
7 gcdval 12935 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  =  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) ) )
8 gcdval 12935 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  gcd  M
)  =  if ( ( N  =  0  /\  M  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  N  /\  n  ||  M ) } ,  RR ,  <  ) ) )
98ancoms 440 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  gcd  M
)  =  if ( ( N  =  0  /\  M  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  N  /\  n  ||  M ) } ,  RR ,  <  ) ) )
106, 7, 93eqtr4a 2445 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  =  ( N  gcd  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2653   ifcif 3682   class class class wbr 4153  (class class class)co 6020   supcsup 7380   RRcr 8922   0cc0 8923    < clt 9053   ZZcz 10214    || cdivides 12779    gcd cgcd 12933
This theorem is referenced by:  gcdid0  12951  neggcd  12954  gcdabs2  12962  modgcd  12963  1gcd  12964  rplpwr  12983  rppwr  12984  eucalginv  13002  qredeq  13033  rpexp12i  13049  phiprmpw  13092  eulerthlem1  13097  eulerthlem2  13098  fermltl  13100  prmdiv  13101  coprimeprodsq  13110  coprimeprodsq2  13111  pythagtriplem3  13119  pythagtrip  13135  pcgcd  13178  prmpwdvds  13199  pockthlem  13200  gcdi  13336  gcdmodi  13337  1259lem5  13381  2503lem3  13385  4001lem4  13390  odinv  15124  gexexlem  15394  ablfacrp2  15552  pgpfac1lem2  15560  dvdsmulf1o  20846  perfect1  20879  perfectlem1  20880  lgslem1  20947  lgsdirnn0  20990  lgsqrlem2  20993  lgsqr  20997  lgsquad2lem2  21010  lgsquad2  21011  lgsquad3  21012  2sqlem8  21023  gcd32  25128  nn0prpwlem  26016  jm2.19lem2  26752  jm2.20nn  26759
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-mulcl 8985  ax-i2m1 8991  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058  df-gcd 12934
  Copyright terms: Public domain W3C validator