Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gch2 Structured version   Unicode version

Theorem gch2 8556
 Description: It is sufficient to require that all alephs are GCH-sets to ensure the full generalized continuum hypothesis. (The proof uses the Axiom of Regularity.) (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gch2 GCH GCH

Proof of Theorem gch2
StepHypRef Expression
1 ssv 3370 . . 3
2 sseq2 3372 . . 3 GCH GCH
31, 2mpbiri 226 . 2 GCH GCH
4 cardidm 7848 . . . . . . . 8
5 iscard3 7976 . . . . . . . 8
64, 5mpbi 201 . . . . . . 7
7 elun 3490 . . . . . . 7
86, 7mpbi 201 . . . . . 6
9 fingch 8500 . . . . . . . . 9 GCH
10 nnfi 7301 . . . . . . . . 9
119, 10sseldi 3348 . . . . . . . 8 GCH
1211a1i 11 . . . . . . 7 GCH GCH
13 ssel 3344 . . . . . . 7 GCH GCH
1412, 13jaod 371 . . . . . 6 GCH GCH
158, 14mpi 17 . . . . 5 GCH GCH
16 vex 2961 . . . . . . 7
17 alephon 7952 . . . . . . . . . . 11
18 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12 GCH
19 simpl 445 . . . . . . . . . . . . 13 GCH GCH
20 alephfnon 7948 . . . . . . . . . . . . . 14
21 fnfvelrn 5869 . . . . . . . . . . . . . 14
2220, 18, 21sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13 GCH
2319, 22sseldd 3351 . . . . . . . . . . . 12 GCH GCH
24 suceloni 4795 . . . . . . . . . . . . . . 15
2524adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14 GCH
26 fnfvelrn 5869 . . . . . . . . . . . . . 14
2720, 25, 26sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13 GCH
2819, 27sseldd 3351 . . . . . . . . . . . 12 GCH GCH
29 gchaleph2 8553 . . . . . . . . . . . 12 GCH GCH
3018, 23, 28, 29syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11 GCH
31 isnumi 7835 . . . . . . . . . . 11
3217, 30, 31sylancr 646 . . . . . . . . . 10 GCH
3332ralrimiva 2791 . . . . . . . . 9 GCH
34 dfac12 8031 . . . . . . . . 9 CHOICE
3533, 34sylibr 205 . . . . . . . 8 GCH CHOICE
36 dfac10 8019 . . . . . . . 8 CHOICE
3735, 36sylib 190 . . . . . . 7 GCH
3816, 37syl5eleqr 2525 . . . . . 6 GCH
39 cardid2 7842 . . . . . 6
40 engch 8505 . . . . . 6 GCH GCH
4138, 39, 403syl 19 . . . . 5 GCH GCH GCH
4215, 41mpbid 203 . . . 4 GCH GCH
4316a1i 11 . . . 4 GCH
4442, 432thd 233 . . 3 GCH GCH
4544eqrdv 2436 . 2 GCH GCH
463, 45impbii 182 1 GCH GCH
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958   cun 3320   wss 3322  cpw 3801   class class class wbr 4214  con0 4583   csuc 4585  com 4847   cdm 4880   crn 4881   wfn 5451  cfv 5456   cen 7108  cfn 7111  ccrd 7824  cale 7825  CHOICEwac 7998  GCHcgch 8497 This theorem is referenced by:  gch3  8557 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-reg 7562  ax-inf2 7598 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-seqom 6707  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-oexp 6732  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-har 7528  df-wdom 7529  df-cnf 7619  df-r1 7692  df-rank 7693  df-card 7828  df-aleph 7829  df-ac 7999  df-cda 8050  df-fin4 8169  df-gch 8498
 Copyright terms: Public domain W3C validator