MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchac Unicode version

Theorem gchac 8311
Description: The Generalized Continuum Hypothesis implies the Axiom of Choice. The original proof is due to Sierpiński (1947); we use a refinement of Sierpiński's result due to Specker. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchac  |-  (GCH  =  _V  -> CHOICE
)

Proof of Theorem gchac
StepHypRef Expression
1 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2 omex 7360 . . . . . . . . . 10  |-  om  e.  _V
31, 2unex 4534 . . . . . . . . 9  |-  ( x  u.  om )  e. 
_V
4 ssun2 3352 . . . . . . . . 9  |-  om  C_  (
x  u.  om )
5 ssdomg 6923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  u.  om )  e.  _V  ->  ( om  C_  ( x  u.  om )  ->  om  ~<_  ( x  u.  om ) ) )
63, 4, 5mp2 17 . . . . . . . 8  |-  om  ~<_  ( x  u.  om )
76a1i 10 . . . . . . 7  |-  (GCH  =  _V  ->  om  ~<_  ( x  u.  om ) )
8 id 19 . . . . . . . 8  |-  (GCH  =  _V  -> GCH  =  _V )
93, 8syl5eleqr 2383 . . . . . . 7  |-  (GCH  =  _V  ->  ( x  u. 
om )  e. GCH )
103pwex 4209 . . . . . . . 8  |-  ~P (
x  u.  om )  e.  _V
1110, 8syl5eleqr 2383 . . . . . . 7  |-  (GCH  =  _V  ->  ~P ( x  u.  om )  e. GCH )
12 gchacg 8310 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ~<_  ( x  u. 
om )  /\  (
x  u.  om )  e. GCH  /\  ~P ( x  u.  om )  e. GCH )  ->  ~P (
x  u.  om )  e.  dom  card )
137, 9, 11, 12syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  (GCH  =  _V  ->  ~P ( x  u.  om )  e. 
dom  card )
143canth2 7030 . . . . . . 7  |-  ( x  u.  om )  ~<  ~P ( x  u.  om )
15 sdomdom 6905 . . . . . . 7  |-  ( ( x  u.  om )  ~<  ~P ( x  u. 
om )  ->  (
x  u.  om )  ~<_  ~P ( x  u.  om ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( x  u.  om )  ~<_  ~P ( x  u.  om )
17 numdom 7681 . . . . . 6  |-  ( ( ~P ( x  u. 
om )  e.  dom  card  /\  ( x  u.  om )  ~<_  ~P ( x  u. 
om ) )  -> 
( x  u.  om )  e.  dom  card )
1813, 16, 17sylancl 643 . . . . 5  |-  (GCH  =  _V  ->  ( x  u. 
om )  e.  dom  card )
19 ssun1 3351 . . . . 5  |-  x  C_  ( x  u.  om )
20 ssnum 7682 . . . . 5  |-  ( ( ( x  u.  om )  e.  dom  card  /\  x  C_  ( x  u.  om ) )  ->  x  e.  dom  card )
2118, 19, 20sylancl 643 . . . 4  |-  (GCH  =  _V  ->  x  e.  dom  card )
221a1i 10 . . . 4  |-  (GCH  =  _V  ->  x  e.  _V )
2321, 222thd 231 . . 3  |-  (GCH  =  _V  ->  ( x  e. 
dom  card  <->  x  e.  _V ) )
2423eqrdv 2294 . 2  |-  (GCH  =  _V  ->  dom  card  =  _V )
25 dfac10 7779 . 2  |-  (CHOICE  <->  dom  card  =  _V )
2624, 25sylibr 203 1  |-  (GCH  =  _V  -> CHOICE
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039   omcom 4672   dom cdm 4705    ~<_ cdom 6877    ~< csdm 6878   cardccrd 7584  CHOICEwac 7758  GCHcgch 8258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-oexp 6501  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-har 7288  df-wdom 7289  df-cnf 7379  df-card 7588  df-ac 7759  df-cda 7810  df-fin4 7929  df-gch 8259
  Copyright terms: Public domain W3C validator