MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchac Unicode version

Theorem gchac 8295
Description: The Generalized Continuum Hypothesis implies the Axiom of Choice. The original proof is due to Sierpiński (1947); we use a refinement of Sierpiński's result due to Specker. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchac  |-  (GCH  =  _V  -> CHOICE
)

Proof of Theorem gchac
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2 omex 7344 . . . . . . . . . 10  |-  om  e.  _V
31, 2unex 4518 . . . . . . . . 9  |-  ( x  u.  om )  e. 
_V
4 ssun2 3339 . . . . . . . . 9  |-  om  C_  (
x  u.  om )
5 ssdomg 6907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  u.  om )  e.  _V  ->  ( om  C_  ( x  u.  om )  ->  om  ~<_  ( x  u.  om ) ) )
63, 4, 5mp2 17 . . . . . . . 8  |-  om  ~<_  ( x  u.  om )
76a1i 10 . . . . . . 7  |-  (GCH  =  _V  ->  om  ~<_  ( x  u.  om ) )
8 id 19 . . . . . . . 8  |-  (GCH  =  _V  -> GCH  =  _V )
93, 8syl5eleqr 2370 . . . . . . 7  |-  (GCH  =  _V  ->  ( x  u. 
om )  e. GCH )
103pwex 4193 . . . . . . . 8  |-  ~P (
x  u.  om )  e.  _V
1110, 8syl5eleqr 2370 . . . . . . 7  |-  (GCH  =  _V  ->  ~P ( x  u.  om )  e. GCH )
12 gchacg 8294 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ~<_  ( x  u. 
om )  /\  (
x  u.  om )  e. GCH  /\  ~P ( x  u.  om )  e. GCH )  ->  ~P (
x  u.  om )  e.  dom  card )
137, 9, 11, 12syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  (GCH  =  _V  ->  ~P ( x  u.  om )  e. 
dom  card )
143canth2 7014 . . . . . . 7  |-  ( x  u.  om )  ~<  ~P ( x  u.  om )
15 sdomdom 6889 . . . . . . 7  |-  ( ( x  u.  om )  ~<  ~P ( x  u. 
om )  ->  (
x  u.  om )  ~<_  ~P ( x  u.  om ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( x  u.  om )  ~<_  ~P ( x  u.  om )
17 numdom 7665 . . . . . 6  |-  ( ( ~P ( x  u. 
om )  e.  dom  card  /\  ( x  u.  om )  ~<_  ~P ( x  u. 
om ) )  -> 
( x  u.  om )  e.  dom  card )
1813, 16, 17sylancl 643 . . . . 5  |-  (GCH  =  _V  ->  ( x  u. 
om )  e.  dom  card )
19 ssun1 3338 . . . . 5  |-  x  C_  ( x  u.  om )
20 ssnum 7666 . . . . 5  |-  ( ( ( x  u.  om )  e.  dom  card  /\  x  C_  ( x  u.  om ) )  ->  x  e.  dom  card )
2118, 19, 20sylancl 643 . . . 4  |-  (GCH  =  _V  ->  x  e.  dom  card )
221a1i 10 . . . 4  |-  (GCH  =  _V  ->  x  e.  _V )
2321, 222thd 231 . . 3  |-  (GCH  =  _V  ->  ( x  e. 
dom  card  <->  x  e.  _V ) )
2423eqrdv 2281 . 2  |-  (GCH  =  _V  ->  dom  card  =  _V )
25 dfac10 7763 . 2  |-  (CHOICE  <->  dom  card  =  _V )
2624, 25sylibr 203 1  |-  (GCH  =  _V  -> CHOICE
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023   omcom 4656   dom cdm 4689    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   cardccrd 7568  CHOICEwac 7742  GCHcgch 8242
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-har 7272  df-wdom 7273  df-cnf 7363  df-card 7572  df-ac 7743  df-cda 7794  df-fin4 7913  df-gch 8243
  Copyright terms: Public domain W3C validator