MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchac Structured version   Unicode version

Theorem gchac 8550
Description: The Generalized Continuum Hypothesis implies the Axiom of Choice. The original proof is due to Sierpiński (1947); we use a refinement of Sierpiński's result due to Specker. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchac  |-  (GCH  =  _V  -> CHOICE
)

Proof of Theorem gchac
StepHypRef Expression
1 vex 2961 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2 omex 7600 . . . . . . . . . 10  |-  om  e.  _V
31, 2unex 4709 . . . . . . . . 9  |-  ( x  u.  om )  e. 
_V
4 ssun2 3513 . . . . . . . . 9  |-  om  C_  (
x  u.  om )
5 ssdomg 7155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  u.  om )  e.  _V  ->  ( om  C_  ( x  u.  om )  ->  om  ~<_  ( x  u.  om ) ) )
63, 4, 5mp2 9 . . . . . . . 8  |-  om  ~<_  ( x  u.  om )
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  (GCH  =  _V  ->  om  ~<_  ( x  u.  om ) )
8 id 21 . . . . . . . 8  |-  (GCH  =  _V  -> GCH  =  _V )
93, 8syl5eleqr 2525 . . . . . . 7  |-  (GCH  =  _V  ->  ( x  u. 
om )  e. GCH )
103pwex 4384 . . . . . . . 8  |-  ~P (
x  u.  om )  e.  _V
1110, 8syl5eleqr 2525 . . . . . . 7  |-  (GCH  =  _V  ->  ~P ( x  u.  om )  e. GCH )
12 gchacg 8549 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ~<_  ( x  u. 
om )  /\  (
x  u.  om )  e. GCH  /\  ~P ( x  u.  om )  e. GCH )  ->  ~P (
x  u.  om )  e.  dom  card )
137, 9, 11, 12syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  (GCH  =  _V  ->  ~P ( x  u.  om )  e. 
dom  card )
143canth2 7262 . . . . . . 7  |-  ( x  u.  om )  ~<  ~P ( x  u.  om )
15 sdomdom 7137 . . . . . . 7  |-  ( ( x  u.  om )  ~<  ~P ( x  u. 
om )  ->  (
x  u.  om )  ~<_  ~P ( x  u.  om ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( x  u.  om )  ~<_  ~P ( x  u.  om )
17 numdom 7921 . . . . . 6  |-  ( ( ~P ( x  u. 
om )  e.  dom  card  /\  ( x  u.  om )  ~<_  ~P ( x  u. 
om ) )  -> 
( x  u.  om )  e.  dom  card )
1813, 16, 17sylancl 645 . . . . 5  |-  (GCH  =  _V  ->  ( x  u. 
om )  e.  dom  card )
19 ssun1 3512 . . . . 5  |-  x  C_  ( x  u.  om )
20 ssnum 7922 . . . . 5  |-  ( ( ( x  u.  om )  e.  dom  card  /\  x  C_  ( x  u.  om ) )  ->  x  e.  dom  card )
2118, 19, 20sylancl 645 . . . 4  |-  (GCH  =  _V  ->  x  e.  dom  card )
221a1i 11 . . . 4  |-  (GCH  =  _V  ->  x  e.  _V )
2321, 222thd 233 . . 3  |-  (GCH  =  _V  ->  ( x  e. 
dom  card  <->  x  e.  _V ) )
2423eqrdv 2436 . 2  |-  (GCH  =  _V  ->  dom  card  =  _V )
25 dfac10 8019 . 2  |-  (CHOICE  <->  dom  card  =  _V )
2624, 25sylibr 205 1  |-  (GCH  =  _V  -> CHOICE
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4214   omcom 4847   dom cdm 4880    ~<_ cdom 7109    ~< csdm 7110   cardccrd 7824  CHOICEwac 7998  GCHcgch 8497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-seqom 6707  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-oexp 6732  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-har 7528  df-wdom 7529  df-cnf 7619  df-card 7828  df-ac 7999  df-cda 8050  df-fin4 8169  df-gch 8498
  Copyright terms: Public domain W3C validator