Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchaleph Structured version   Unicode version

Theorem gchaleph 8550
 Description: If is a GCH-set and its powerset is well-orderable, then the successor aleph is equinumerous to the powerset of . (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchaleph GCH

Proof of Theorem gchaleph
StepHypRef Expression
1 alephsucpw2 7992 . . 3
2 alephon 7950 . . . . 5
3 onenon 7836 . . . . 5
42, 3ax-mp 8 . . . 4
5 simp3 959 . . . 4 GCH
6 domtri2 7876 . . . 4
74, 5, 6sylancr 645 . . 3 GCH
81, 7mpbiri 225 . 2 GCH
9 fvex 5742 . . . . . . 7
10 simp1 957 . . . . . . . 8 GCH
11 alephgeom 7963 . . . . . . . 8
1210, 11sylib 189 . . . . . . 7 GCH
13 ssdomg 7153 . . . . . . 7
149, 12, 13mpsyl 61 . . . . . 6 GCH
15 domnsym 7233 . . . . . 6
1614, 15syl 16 . . . . 5 GCH
17 isfinite 7607 . . . . 5
1816, 17sylnibr 297 . . . 4 GCH
19 simp2 958 . . . . 5 GCH GCH
20 alephordilem1 7954 . . . . . 6
21203ad2ant1 978 . . . . 5 GCH
22 gchi 8499 . . . . . 6 GCH
23223expia 1155 . . . . 5 GCH
2419, 21, 23syl2anc 643 . . . 4 GCH
2518, 24mtod 170 . . 3 GCH
26 domtri2 7876 . . . 4
275, 4, 26sylancl 644 . . 3 GCH
2825, 27mpbird 224 . 2 GCH
29 sbth 7227 . 2
308, 28, 29syl2anc 643 1 GCH
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   w3a 936   wcel 1725  cvv 2956   wss 3320  cpw 3799   class class class wbr 4212  con0 4581   csuc 4583  com 4845   cdm 4878  cfv 5454   cen 7106   cdom 7107   csdm 7108  cfn 7109  ccrd 7822  cale 7823  GCHcgch 8495 This theorem is referenced by:  gchaleph2  8551 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-har 7526  df-card 7826  df-aleph 7827  df-gch 8496
 Copyright terms: Public domain W3C validator