MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchcda1 Unicode version

Theorem gchcda1 8278
Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal successor. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchcda1  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  +c  1o )  ~~  A )

Proof of Theorem gchcda1
StepHypRef Expression
1 1onn 6637 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
21a1i 10 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  1o  e.  om )
3 cdadom3 7814 . . . . 5  |-  ( ( A  e. GCH  /\  1o  e.  om )  ->  A  ~<_  ( A  +c  1o ) )
42, 3sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  A  ~<_  ( A  +c  1o ) )
5 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  A  e.  Fin )
6 nnfi 7053 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  e.  Fin )
71, 6mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  1o  e.  Fin )
8 fidomtri2 7627 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. GCH  /\  1o  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  1o  <->  -.  1o  ~<  A ) )
97, 8sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  1o  <->  -.  1o  ~<  A ) )
101, 6mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  1o  e.  Fin )
11 domfi 7084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1o  e.  Fin  /\  A  ~<_  1o )  ->  A  e.  Fin )
1211ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( 1o  e.  Fin  ->  ( A  ~<_  1o  ->  A  e. 
Fin ) )
1310, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  1o  ->  A  e.  Fin ) )
149, 13sylbird 226 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  1o  ~<  A  ->  A  e.  Fin ) )
155, 14mt3d 117 . . . . 5  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  1o  ~<  A )
16 canthp1 8276 . . . . 5  |-  ( 1o 
~<  A  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A )
1715, 16syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A )
184, 17jca 518 . . 3  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  ( A  +c  1o )  /\  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A ) )
19 gchen1 8247 . . 3  |-  ( ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  ( A  ~<_  ( A  +c  1o )  /\  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A
) )  ->  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
2018, 19mpdan 649 . 2  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
21 ensym 6910 . 2  |-  ( A 
~~  ( A  +c  1o )  ->  ( A  +c  1o )  ~~  A )
2220, 21syl 15 1  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  +c  1o )  ~~  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023   omcom 4656  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   Fincfn 6863    +c ccda 7793  GCHcgch 8242
This theorem is referenced by:  gchinf  8279  gchcdaidm  8290  gchpwdom  8296
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-gch 8243
  Copyright terms: Public domain W3C validator