Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchcdaidm Unicode version

Theorem gchcdaidm 8290
 Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal sum. Part of Lemma 2.2 of [KanamoriPincus] p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchcdaidm GCH

Proof of Theorem gchcdaidm
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . 5 GCH GCH
2 cdadom3 7814 . . . . 5 GCH GCH
31, 1, 2syl2anc 642 . . . 4 GCH
4 canth2g 7015 . . . . . . . . 9 GCH
54adantr 451 . . . . . . . 8 GCH
6 sdomdom 6889 . . . . . . . 8
75, 6syl 15 . . . . . . 7 GCH
8 cdadom1 7812 . . . . . . . 8
9 cdadom2 7813 . . . . . . . 8
10 domtr 6914 . . . . . . . 8
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . 7
127, 11syl 15 . . . . . 6 GCH
13 pwcda1 7820 . . . . . . . 8 GCH
1413adantr 451 . . . . . . 7 GCH
15 gchcda1 8278 . . . . . . . 8 GCH
16 pwen 7034 . . . . . . . 8
1715, 16syl 15 . . . . . . 7 GCH
18 entr 6913 . . . . . . 7
1914, 17, 18syl2anc 642 . . . . . 6 GCH
20 domentr 6920 . . . . . 6
2112, 19, 20syl2anc 642 . . . . 5 GCH
22 gchinf 8279 . . . . . . 7 GCH
23 pwcdandom 8289 . . . . . . 7
2422, 23syl 15 . . . . . 6 GCH
25 ensym 6910 . . . . . . 7
26 endom 6888 . . . . . . 7
2725, 26syl 15 . . . . . 6
2824, 27nsyl 113 . . . . 5 GCH
29 brsdom 6884 . . . . 5
3021, 28, 29sylanbrc 645 . . . 4 GCH
313, 30jca 518 . . 3 GCH
32 gchen1 8247 . . 3 GCH
3331, 32mpdan 649 . 2 GCH
34 ensym 6910 . 2
3533, 34syl 15 1 GCH
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   wcel 1684  cpw 3625   class class class wbr 4023  com 4656  (class class class)co 5858  c1o 6472   cen 6860   cdom 6861   csdm 6862  cfn 6863   ccda 7793  GCHcgch 8242 This theorem is referenced by:  gchxpidm  8291  gchhar  8293  gchpwdom  8296 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-har 7272  df-cnf 7363  df-card 7572  df-cda 7794  df-fin4 7913  df-gch 8243
 Copyright terms: Public domain W3C validator