MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0addcl Unicode version

Theorem ge0addcl 10942
Description: The nonnegative reals are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ge0addcl  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( A  +  B )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )

Proof of Theorem ge0addcl
StepHypRef Expression
1 elrege0 10940 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
2 elrege0 10940 . 2  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
3 readdcl 9007 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
43ad2ant2r 728 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
5 addge0 9450 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) )  ->  0  <_  ( A  +  B
) )
65an4s 800 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  +  B ) )
7 elrege0 10940 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A  +  B
) ) )
84, 6, 7sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  +  B )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
91, 2, 8syl2anb 466 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( A  +  B )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   class class class wbr 4154  (class class class)co 6021   RRcr 8923   0cc0 8924    + caddc 8927    +oocpnf 9051    <_ cle 9055   [,)cico 10851
This theorem is referenced by:  fsumge0  12502  rege0subm  16679  ovolsf  19237  itg2addlem  19518  esumfsupre  24258  esumpfinvallem  24261  itg2addnc  25960
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-ico 10855
  Copyright terms: Public domain W3C validator