MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0gtmnf Structured version   Unicode version

Theorem ge0gtmnf 10761
Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ge0gtmnf  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  -oo  <  A )

Proof of Theorem ge0gtmnf
StepHypRef Expression
1 0re 9092 . . 3  |-  0  e.  RR
2 mnflt 10723 . . 3  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  -oo  <  0
4 mnfxr 10715 . . . 4  |-  -oo  e.  RR*
5 0xr 9132 . . . 4  |-  0  e.  RR*
6 xrltletr 10748 . . . 4  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* )  ->  (
(  -oo  <  0  /\  0  <_  A )  ->  -oo  <  A ) )
74, 5, 6mp3an12 1270 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( ( 
-oo  <  0  /\  0  <_  A )  ->  -oo  <  A ) )
87imp 420 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (  -oo  <  0  /\  0  <_  A ) )  ->  -oo  <  A )
93, 8mpanr1 666 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  -oo  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   class class class wbr 4213   RRcr 8990   0cc0 8991    -oocmnf 9119   RR*cxr 9120    < clt 9121    <_ cle 9122
This theorem is referenced by:  ge0nemnf  10762  xrrege0  10763  pcgcd1  13251  pnfnei  17285  isnghm3  18760  ovolunnul  19397  radcnvle  20337  psercnlem1  20342
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127
  Copyright terms: Public domain W3C validator