MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0nemnf Unicode version

Theorem ge0nemnf 10549
Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ge0nemnf  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  =/=  -oo )

Proof of Theorem ge0nemnf
StepHypRef Expression
1 ge0gtmnf 10548 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  -oo  <  A )
2 ngtmnft 10543 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  =  -oo  <->  -.  -oo  <  A ) )
32adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  ( A  =  -oo  <->  -.  -oo  <  A ) )
43necon2abid 2536 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  (  -oo  <  A  <->  A  =/=  -oo ) )
51, 4mpbid 201 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  =/=  -oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   class class class wbr 4060   0cc0 8782    -oocmnf 8910   RR*cxr 8911    < clt 8912    <_ cle 8913
This theorem is referenced by:  xlesubadd  10630  xadddi2  10664  xrge0subm  16468  isxmet2d  17944  xmetrtri  17971  imasdsf1olem  17989  xblpnf  18005  xblss2  18010  nmoix  18290  nmoleub  18292  blcvx  18356  xrge0gsumle  18390  xrge0tsms  18391  metdstri  18407  metdscnlem  18411  nmoleub2lem  18648  xrge0addass  23349  xrge0tsmsd  23360
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918
  Copyright terms: Public domain W3C validator