MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0nemnf Structured version   Unicode version

Theorem ge0nemnf 10762
Description: A nonnegative extended real is greater than negative infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ge0nemnf  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  =/=  -oo )

Proof of Theorem ge0nemnf
StepHypRef Expression
1 ge0gtmnf 10761 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  -oo  <  A )
2 ngtmnft 10756 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  =  -oo  <->  -.  -oo  <  A ) )
32adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  ( A  =  -oo  <->  -.  -oo  <  A ) )
43necon2abid 2662 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  (  -oo  <  A  <->  A  =/=  -oo ) )
51, 4mpbid 203 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  =/=  -oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   class class class wbr 4213   0cc0 8991    -oocmnf 9119   RR*cxr 9120    < clt 9121    <_ cle 9122
This theorem is referenced by:  xlesubadd  10843  xadddi2  10877  xrge0subm  16740  isxmet2d  18358  xmetrtri  18386  imasdsf1olem  18404  xblpnfps  18426  xblpnf  18427  xblss2ps  18432  xblss2  18433  nmoix  18764  nmoleub  18766  blcvx  18830  xrge0gsumle  18865  xrge0tsms  18866  metdstri  18882  metdscnlem  18886  nmoleub2lem  19123  xrge0addass  24212  xrge0tsmsd  24224
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127
  Copyright terms: Public domain W3C validator