MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0xaddcl Unicode version

Theorem ge0xaddcl 10943
Description: The nonnegative reals are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ge0xaddcl  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  ( A + e B )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )

Proof of Theorem ge0xaddcl
StepHypRef Expression
1 elxrge0 10940 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A ) )
2 elxrge0 10940 . 2  |-  ( B  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B ) )
3 xaddcl 10755 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A + e B )  e.  RR* )
43ad2ant2r 728 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A + e B )  e. 
RR* )
5 xaddge0 10769 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B ) )  ->  0  <_  ( A + e B ) )
65an4s 800 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A + e B ) )
7 elxrge0 10940 . . 3  |-  ( ( A + e B )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( ( A + e B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( A + e B ) ) )
84, 6, 7sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A + e B )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
91, 2, 8syl2anb 466 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  ( A + e B )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   class class class wbr 4153  (class class class)co 6020   0cc0 8923    +oocpnf 9050   RR*cxr 9052    <_ cle 9054   + ecxad 10640   [,]cicc 10851
This theorem is referenced by:  xrge0subm  16662  comet  18433  stdbdxmet  18435  xrge0pluscn  24130  esumadd  24244  esumaddf  24249  esummulc1  24267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-xadd 10643  df-icc 10855
  Copyright terms: Public domain W3C validator