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Theorem genpass 8633
Description: Associativity of an operation on reals. (Contributed by NM, 18-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
genp.2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
genpass.4  |-  dom  F  =  ( P.  X.  P. )
genpass.5  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  ->  ( f F g )  e.  P. )
genpass.6  |-  ( ( f G g ) G h )  =  ( f G ( g G h ) )
Assertion
Ref Expression
genpass  |-  ( ( A F B ) F C )  =  ( A F ( B F C ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, f, g, h, A    x, B, y, z, f, g, h   
x, w, v, G, y, z, f, g, h    f, F, g    C, f, g, h, x, y, z    x, F, y, z, h
Allowed substitution hints:    A( w, v)    B( w, v)    C( w, v)    F( w, v)

Proof of Theorem genpass
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 genp.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
2 genp.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
31, 2genpelv 8624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( t  e.  ( B F C )  <->  E. g  e.  B  E. h  e.  C  t  =  ( g G h ) ) )
433adant1 973 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
t  e.  ( B F C )  <->  E. g  e.  B  E. h  e.  C  t  =  ( g G h ) ) )
54anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( t  e.  ( B F C )  /\  x  =  ( f G t ) )  <->  ( E. g  e.  B  E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) ) )
65exbidv 1612 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( E. t ( t  e.  ( B F C )  /\  x  =  ( f G t ) )  <->  E. t
( E. g  e.  B  E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) ) )
7 df-rex 2549 . . . . . 6  |-  ( E. t  e.  ( B F C ) x  =  ( f G t )  <->  E. t
( t  e.  ( B F C )  /\  x  =  ( f G t ) ) )
8 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g G h )  e. 
_V
98isseti 2794 . . . . . . . . . . . 12  |-  E. t 
t  =  ( g G h )
109biantrur 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  ( E. t  t  =  (
g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
11 19.41v 1842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) )  <->  ( E. t  t  =  (
g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
1210, 11bitr4i 243 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. t
( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
1312rexbii 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. h  e.  C  E. t
( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
14 rexcom4 2807 . . . . . . . . 9  |-  ( E. h  e.  C  E. t ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) )  <->  E. t E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
1513, 14bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. t E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
1615rexbii 2568 . . . . . . 7  |-  ( E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. g  e.  B  E. t E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
17 rexcom4 2807 . . . . . . 7  |-  ( E. g  e.  B  E. t E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) )  <->  E. t E. g  e.  B  E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
18 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( g G h )  ->  (
f G t )  =  ( f G ( g G h ) ) )
19 genpass.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f G g ) G h )  =  ( f G ( g G h ) )
2018, 19syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( g G h )  ->  (
f G t )  =  ( ( f G g ) G h ) )
2120eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( g G h )  ->  (
x  =  ( f G t )  <->  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
2221pm5.32i 618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) )  <-> 
( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
2322rexbii 2568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) )  <->  E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
24 r19.41v 2693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) )  <-> 
( E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) )
2523, 24bitr3i 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( (
f G g ) G h ) )  <-> 
( E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) )
2625rexbii 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  B  E. h  e.  C  (
t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( (
f G g ) G h ) )  <->  E. g  e.  B  ( E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) )
27 r19.41v 2693 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  B  ( E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) )  <-> 
( E. g  e.  B  E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) )
2826, 27bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( E. g  e.  B  E. h  e.  C  (
t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( (
f G g ) G h ) )  <-> 
( E. g  e.  B  E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) )
2928exbii 1569 . . . . . . 7  |-  ( E. t E. g  e.  B  E. h  e.  C  ( t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( ( f G g ) G h ) )  <->  E. t
( E. g  e.  B  E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) )
3016, 17, 293bitri 262 . . . . . 6  |-  ( E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. t
( E. g  e.  B  E. h  e.  C  t  =  ( g G h )  /\  x  =  ( f G t ) ) )
316, 7, 303bitr4g 279 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( E. t  e.  ( B F C ) x  =  ( f G t )  <->  E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
3231rexbidv 2564 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( E. f  e.  A  E. t  e.  ( B F C ) x  =  ( f G t )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
33 genpass.5 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  ->  ( f F g )  e.  P. )
3433caovcl 6014 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( B F C )  e.  P. )
351, 2genpelv 8624 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B F C )  e.  P. )  -> 
( x  e.  ( A F ( B F C ) )  <->  E. f  e.  A  E. t  e.  ( B F C ) x  =  ( f G t ) ) )
3634, 35sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  C  e.  P. )
)  ->  ( x  e.  ( A F ( B F C ) )  <->  E. f  e.  A  E. t  e.  ( B F C ) x  =  ( f G t ) ) )
37363impb 1147 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
x  e.  ( A F ( B F C ) )  <->  E. f  e.  A  E. t  e.  ( B F C ) x  =  ( f G t ) ) )
3833caovcl 6014 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A F B )  e.  P. )
391, 2genpelv 8624 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A F B )  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( x  e.  ( ( A F B ) F C )  <->  E. t  e.  ( A F B ) E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
4038, 39sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  C  e.  P. )  ->  ( x  e.  ( ( A F B ) F C )  <->  E. t  e.  ( A F B ) E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
41403impa 1146 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
x  e.  ( ( A F B ) F C )  <->  E. t  e.  ( A F B ) E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
421, 2genpelv 8624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( t  e.  ( A F B )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  t  =  ( f G g ) ) )
43423adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
t  e.  ( A F B )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  t  =  ( f G g ) ) )
4443anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( t  e.  ( A F B )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  ( E. f  e.  A  E. g  e.  B  t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) ) )
4544exbidv 1612 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( E. t ( t  e.  ( A F B )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  E. t
( E. f  e.  A  E. g  e.  B  t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) ) )
46 df-rex 2549 . . . . . 6  |-  ( E. t  e.  ( A F B ) E. h  e.  C  x  =  ( t G h )  <->  E. t
( t  e.  ( A F B )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
47 19.41v 1842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) )  <->  ( E. t  t  =  (
f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
48 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( f G g )  ->  (
t G h )  =  ( ( f G g ) G h ) )
4948eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( f G g )  ->  (
x  =  ( t G h )  <->  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
5049rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( f G g )  ->  ( E. h  e.  C  x  =  ( t G h )  <->  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
5150pm5.32i 618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
5251exbii 1569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  E. t
( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
53 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f G g )  e. 
_V
5453isseti 2794 . . . . . . . . . . . 12  |-  E. t 
t  =  ( f G g )
5554biantrur 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  ( E. t  t  =  (
f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
5647, 52, 553bitr4ri 269 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. t
( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
5756rexbii 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. g  e.  B  E. t
( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
58 rexcom4 2807 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  B  E. t ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  E. t E. g  e.  B  ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
5957, 58bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. t E. g  e.  B  ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
6059rexbii 2568 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  A  E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. f  e.  A  E. t E. g  e.  B  ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
61 rexcom4 2807 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  A  E. t E. g  e.  B  ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  E. t E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
62 r19.41v 2693 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. g  e.  B  ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  ( E. g  e.  B  t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
6362rexbii 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  e.  A  E. g  e.  B  (
t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  E. f  e.  A  ( E. g  e.  B  t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
64 r19.41v 2693 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  e.  A  ( E. g  e.  B  t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  ( E. f  e.  A  E. g  e.  B  t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
6563, 64bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( E. f  e.  A  E. g  e.  B  (
t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  ( E. f  e.  A  E. g  e.  B  t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
6665exbii 1569 . . . . . . 7  |-  ( E. t E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) )  <->  E. t
( E. f  e.  A  E. g  e.  B  t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
6760, 61, 663bitri 262 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  A  E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h )  <->  E. t
( E. f  e.  A  E. g  e.  B  t  =  ( f G g )  /\  E. h  e.  C  x  =  ( t G h ) ) )
6845, 46, 673bitr4g 279 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( E. t  e.  ( A F B ) E. h  e.  C  x  =  ( t G h )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
6941, 68bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
x  e.  ( ( A F B ) F C )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  E. h  e.  C  x  =  ( ( f G g ) G h ) ) )
7032, 37, 693bitr4rd 277 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
x  e.  ( ( A F B ) F C )  <->  x  e.  ( A F ( B F C ) ) ) )
7170eqrdv 2281 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( A F B ) F C )  =  ( A F ( B F C ) ) )
72 genpass.4 . . 3  |-  dom  F  =  ( P.  X.  P. )
73 0npr 8616 . . 3  |-  -.  (/)  e.  P.
7472, 73ndmovass 6008 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( ( A F B ) F C )  =  ( A F ( B F C ) ) )
7571, 74pm2.61i 156 1  |-  ( ( A F B ) F C )  =  ( A F ( B F C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544    X. cxp 4687   dom cdm 4689  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Q.cnq 8474   P.cnp 8481
This theorem is referenced by:  addasspr  8646  mulasspr  8648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-ni 8496  df-nq 8536  df-np 8605
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