Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpcl Structured version   Unicode version

Theorem genpcl 8890
 Description: Closure of an operation on reals. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1
genp.2
genpcl.3
genpcl.4
genpcl.5
Assertion
Ref Expression
genpcl
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,,,   ,   ,,,,,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem genpcl
StepHypRef Expression
1 genp.1 . . . 4
2 genp.2 . . . 4
31, 2genpn0 8885 . . 3
41, 2genpss 8886 . . . 4
5 vex 2961 . . . . . 6
6 vex 2961 . . . . . 6
7 genpcl.3 . . . . . 6
85, 6, 7caovord 6261 . . . . 5
9 genpcl.4 . . . . 5
101, 2, 8, 9genpnnp 8887 . . . 4
11 dfpss2 3434 . . . 4
124, 10, 11sylanbrc 647 . . 3
13 genpcl.5 . . . . . . 7
141, 2, 13genpcd 8888 . . . . . 6
1514alrimdv 1644 . . . . 5
16 vex 2961 . . . . . . 7
17 vex 2961 . . . . . . 7
1816, 17, 7caovord 6261 . . . . . 6
1916, 17, 9caovcom 6247 . . . . . 6
201, 2, 18, 19genpnmax 8889 . . . . 5
2115, 20jcad 521 . . . 4
2221ralrimiv 2790 . . 3
233, 12, 22jca31 522 . 2
24 elnp 8869 . 2
2523, 24sylibr 205 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360  wal 1550   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424  wral 2707  wrex 2708   wss 3322   wpss 3323  c0 3630   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  cnq 8732   cltq 8738  cnp 8739 This theorem is referenced by:  addclpr  8900  mulclpr  8902 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-ni 8754  df-mi 8756  df-lti 8757  df-ltpq 8792  df-enq 8793  df-nq 8794  df-ltnq 8800  df-np 8863
 Copyright terms: Public domain W3C validator