MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpdm Unicode version

Theorem genpdm 8642
Description: Domain of general operation on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
genp.2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
genpdm  |-  dom  F  =  ( P.  X.  P. )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, G
Allowed substitution hints:    F( x, y, z, w, v)

Proof of Theorem genpdm
StepHypRef Expression
1 elprnq 8631 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  P.  /\  y  e.  w )  ->  y  e.  Q. )
2 elprnq 8631 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  P.  /\  z  e.  v )  ->  z  e.  Q. )
3 genp.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
4 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y G z )  ->  (
x  e.  Q.  <->  ( y G z )  e. 
Q. ) )
53, 4syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
61, 2, 5syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  P.  /\  y  e.  w )  /\  ( v  e. 
P.  /\  z  e.  v ) )  -> 
( x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
76an4s 799 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P. )  /\  ( y  e.  w  /\  z  e.  v
) )  ->  (
x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. )
)
87rexlimdvva 2687 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P. )  ->  ( E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
98abssdv 3260 . . . 4  |-  ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P. )  ->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  C_  Q. )
10 nqex 8563 . . . 4  |-  Q.  e.  _V
11 ssexg 4176 . . . 4  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  C_  Q.  /\  Q.  e.  _V )  ->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  e.  _V )
129, 10, 11sylancl 643 . . 3  |-  ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P. )  ->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  e.  _V )
1312rgen2a 2622 . 2  |-  A. w  e.  P.  A. v  e. 
P.  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  e.  _V
14 genp.1 . . 3  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
1514fnmpt2 6208 . 2  |-  ( A. w  e.  P.  A. v  e.  P.  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  e.  _V  ->  F  Fn  ( P.  X.  P. ) )
16 fndm 5359 . 2  |-  ( F  Fn  ( P.  X.  P. )  ->  dom  F  =  ( P.  X.  P. ) )
1713, 15, 16mp2b 9 1  |-  dom  F  =  ( P.  X.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165    X. cxp 4703   dom cdm 4705    Fn wfn 5266  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   Q.cnq 8490   P.cnp 8497
This theorem is referenced by:  dmplp  8652  dmmp  8653
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-ni 8512  df-nq 8552  df-np 8621
  Copyright terms: Public domain W3C validator