MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpdm Unicode version

Theorem genpdm 8626
Description: Domain of general operation on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
genp.2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
genpdm  |-  dom  F  =  ( P.  X.  P. )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, G
Allowed substitution hints:    F( x, y, z, w, v)

Proof of Theorem genpdm
StepHypRef Expression
1 elprnq 8615 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  P.  /\  y  e.  w )  ->  y  e.  Q. )
2 elprnq 8615 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  P.  /\  z  e.  v )  ->  z  e.  Q. )
3 genp.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
4 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y G z )  ->  (
x  e.  Q.  <->  ( y G z )  e. 
Q. ) )
53, 4syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
61, 2, 5syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  P.  /\  y  e.  w )  /\  ( v  e. 
P.  /\  z  e.  v ) )  -> 
( x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
76an4s 799 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P. )  /\  ( y  e.  w  /\  z  e.  v
) )  ->  (
x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. )
)
87rexlimdvva 2674 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P. )  ->  ( E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
98abssdv 3247 . . . 4  |-  ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P. )  ->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  C_  Q. )
10 nqex 8547 . . . 4  |-  Q.  e.  _V
11 ssexg 4160 . . . 4  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  C_  Q.  /\  Q.  e.  _V )  ->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  e.  _V )
129, 10, 11sylancl 643 . . 3  |-  ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P. )  ->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  e.  _V )
1312rgen2a 2609 . 2  |-  A. w  e.  P.  A. v  e. 
P.  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  e.  _V
14 genp.1 . . 3  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
1514fnmpt2 6192 . 2  |-  ( A. w  e.  P.  A. v  e.  P.  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  e.  _V  ->  F  Fn  ( P.  X.  P. ) )
16 fndm 5343 . 2  |-  ( F  Fn  ( P.  X.  P. )  ->  dom  F  =  ( P.  X.  P. ) )
1713, 15, 16mp2b 9 1  |-  dom  F  =  ( P.  X.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    X. cxp 4687   dom cdm 4689    Fn wfn 5250  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Q.cnq 8474   P.cnp 8481
This theorem is referenced by:  dmplp  8636  dmmp  8637
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-ni 8496  df-nq 8536  df-np 8605
  Copyright terms: Public domain W3C validator