Theorem genpn0 5106

Description: The result of an operation on positive reals is not empty.

Hypothesis

Ref	Expression
genp.1	|- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}

Assertion

Ref	Expression
genpn0	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (/) (. (AFB))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,w,v,u,G,y,z

Proof of Theorem genpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prn0 5093	. . . . . 6 |- (A e. P. -> A =/= (/))
2		ne0 2288	. . . . . 6 |- (A =/= (/) <-> E.g g e. A)
3	1, 2	sylib 198	. . . . 5 |- (A e. P. -> E.g g e. A)
4		prn0 5093	. . . . . 6 |- (B e. P. -> B =/= (/))
5		ne0 2288	. . . . . 6 |- (B =/= (/) <-> E.h h e. B)
6	4, 5	sylib 198	. . . . 5 |- (B e. P. -> E.h h e. B)
7	3, 6	anim12i 333	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.g g e. A /\ E.h h e. B))
8		exrot3 1099	. . . . 5 |- (E.fE.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) <-> E.gE.hE.f((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)))
9		19.42v 1308	. . . . . . 7 |- (E.f((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) <-> ((g e. A /\ h e. B) /\ E.f f = (gGh)))
10		oprex 3983	. . . . . . . 8 |- (gGh) e. V
11	10	isseti 1815	. . . . . . 7 |- E.f f = (gGh)
12	9, 11	mpbiran2 729	. . . . . 6 |- (E.f((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) <-> (g e. A /\ h e. B))
13	12	2exbii 1052	. . . . 5 |- (E.gE.hE.f((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) <-> E.gE.h(g e. A /\ h e. B))
14		eeanv 1323	. . . . 5 |- (E.gE.h(g e. A /\ h e. B) <-> (E.g g e. A /\ E.h h e. B))
15	8, 13, 14	3bitr 177	. . . 4 |- (E.fE.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) <-> (E.g g e. A /\ E.h h e. B))
16	7, 15	sylibr 200	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> E.fE.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)))
17		genp.1	. . . . . 6 |- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
18	17	genpv 5102	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) = {f | E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh))})
19	18	abeq2d 1572	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) <-> E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh))))
20	19	exbidv 1279	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.f f e. (AFB) <-> E.fE.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh))))
21	16, 20	mpbird 196	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> E.f f e. (AFB))
22		0pss 2308	. . 3 |- ((/) (. (AFB) <-> (AFB) =/= (/))
23		ne0 2288	. . 3 |- ((AFB) =/= (/) <-> E.f f e. (AFB))
24	22, 23	bitr 173	. 2 |- ((/) (. (AFB) <-> E.f f e. (AFB))
25	21, 24	sylibr 200	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (/) (. (AFB))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463   =/= wne 1585  E.wrex 1646   (. wpss 2048  (/)c0 2280  (class class class)co 3963  {copab2 3964  P.cnp 4985

This theorem is referenced by:  genpcl 5111

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-qs 4266  df-ni 5000  df-nq 5038  df-np 5086

Copyright terms: Public domain