Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpn0 Structured version   Unicode version

Theorem genpn0 8880
 Description: The result of an operation on positive reals is not empty. (Contributed by NM, 28-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1
genp.2
Assertion
Ref Expression
genpn0
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,,,)

Proof of Theorem genpn0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prn0 8866 . . . 4
2 n0 3637 . . . 4
31, 2sylib 189 . . 3
4 prn0 8866 . . . 4
5 n0 3637 . . . 4
64, 5sylib 189 . . 3
73, 6anim12i 550 . 2
8 genp.1 . . . . . . . . 9
9 genp.2 . . . . . . . . 9
108, 9genpprecl 8878 . . . . . . . 8
11 ne0i 3634 . . . . . . . . 9
12 0pss 3665 . . . . . . . . 9
1311, 12sylibr 204 . . . . . . . 8
1410, 13syl6 31 . . . . . . 7
1514exp3acom23 1381 . . . . . 6
1615exlimdv 1646 . . . . 5
1716com23 74 . . . 4
1817exlimdv 1646 . . 3
1918imp3a 421 . 2
207, 19mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cab 2422   wne 2599  wrex 2706   wpss 3321  c0 3628  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  cnq 8727  cnp 8734 This theorem is referenced by:  genpcl  8885 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-ni 8749  df-nq 8789  df-np 8858
 Copyright terms: Public domain W3C validator