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Theorem genpnmax 8631
Description: An operation on positive reals has no largest member. (Contributed by NM, 10-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
genp.2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
genpnmax.2  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
z  <Q  w  <->  ( v G z )  <Q 
( v G w ) ) )
genpnmax.3  |-  ( z G w )  =  ( w G z )
Assertion
Ref Expression
genpnmax  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( f  e.  ( A F B )  ->  E. x  e.  ( A F B ) f  <Q  x )
)
Distinct variable groups:    x, y,
z, f, A    x, B, y, z, f    x, w, v, G, y, z, f    f, F, x, y
Allowed substitution hints:    A( w, v)    B( w, v)    F( z, w, v)

Proof of Theorem genpnmax
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 genp.1 . . 3  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
2 genp.2 . . 3  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
31, 2genpelv 8624 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( f  e.  ( A F B )  <->  E. g  e.  A  E. h  e.  B  f  =  ( g G h ) ) )
4 prnmax 8619 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  ->  E. y  e.  A  g  <Q  y )
54adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  ->  E. y  e.  A  g  <Q  y )
61, 2genpprecl 8625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( y  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  (
y G h )  e.  ( A F B ) ) )
76exp4b 590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( y  e.  A  -> 
( h  e.  B  ->  ( y G h )  e.  ( A F B ) ) ) ) )
87com34 77 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( h  e.  B  -> 
( y  e.  A  ->  ( y G h )  e.  ( A F B ) ) ) ) )
98imp32 422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  ->  ( y  e.  A  ->  ( y G h )  e.  ( A F B ) ) )
10 elprnq 8615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  P.  /\  h  e.  B )  ->  h  e.  Q. )
11 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  g  e. 
_V
12 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
13 genpnmax.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
z  <Q  w  <->  ( v G z )  <Q 
( v G w ) ) )
14 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  h  e. 
_V
15 genpnmax.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z G w )  =  ( w G z )
1611, 12, 13, 14, 15caovord2 6032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
g  <Q  y  <->  ( g G h )  <Q 
( y G h ) ) )
1716biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
g  <Q  y  ->  (
g G h ) 
<Q  ( y G h ) ) )
1810, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  P.  /\  h  e.  B )  ->  ( g  <Q  y  ->  ( g G h )  <Q  ( y G h ) ) )
1918adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  ->  ( g  <Q  y  ->  ( g G h )  <Q 
( y G h ) ) )
209, 19anim12d 546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  ->  ( (
y  e.  A  /\  g  <Q  y )  -> 
( ( y G h )  e.  ( A F B )  /\  ( g G h )  <Q  (
y G h ) ) ) )
21 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y G h )  ->  (
( g G h )  <Q  x  <->  ( g G h )  <Q 
( y G h ) ) )
2221rspcev 2884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y G h )  e.  ( A F B )  /\  ( g G h )  <Q  ( y G h ) )  ->  E. x  e.  ( A F B ) ( g G h )  <Q  x )
2320, 22syl6 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  ->  ( (
y  e.  A  /\  g  <Q  y )  ->  E. x  e.  ( A F B ) ( g G h ) 
<Q  x ) )
2423adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( y  e.  A  /\  g  <Q 
y )  ->  E. x  e.  ( A F B ) ( g G h )  <Q  x
) )
2524exp3a 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  -> 
( y  e.  A  ->  ( g  <Q  y  ->  E. x  e.  ( A F B ) ( g G h )  <Q  x )
) )
2625rexlimdv 2666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  -> 
( E. y  e.  A  g  <Q  y  ->  E. x  e.  ( A F B ) ( g G h )  <Q  x )
)
275, 26mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  ->  E. x  e.  ( A F B ) ( g G h ) 
<Q  x )
2827an4s 799 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( g  e.  A  /\  h  e.  B
) )  ->  E. x  e.  ( A F B ) ( g G h )  <Q  x
)
29 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g G h )  ->  (
f  <Q  x  <->  ( g G h )  <Q  x ) )
3029rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g G h )  ->  ( E. x  e.  ( A F B ) f 
<Q  x  <->  E. x  e.  ( A F B ) ( g G h )  <Q  x )
)
3128, 30syl5ibr 212 . . . 4  |-  ( f  =  ( g G h )  ->  (
( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
g  e.  A  /\  h  e.  B )
)  ->  E. x  e.  ( A F B ) f  <Q  x
) )
3231exp3acom3r 1360 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( g  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  (
f  =  ( g G h )  ->  E. x  e.  ( A F B ) f 
<Q  x ) ) )
3332rexlimdvv 2673 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. g  e.  A  E. h  e.  B  f  =  ( g G h )  ->  E. x  e.  ( A F B ) f  <Q  x )
)
343, 33sylbid 206 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( f  e.  ( A F B )  ->  E. x  e.  ( A F B ) f  <Q  x )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Q.cnq 8474    <Q cltq 8480   P.cnp 8481
This theorem is referenced by:  genpcl  8632
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-ni 8496  df-nq 8536  df-np 8605
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