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Theorem genpnnp 8629
Description: The result of an operation on positive reals is different from the set of positive fractions. (Contributed by NM, 29-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
genp.2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
genpnnp.3  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
x  <Q  y  <->  ( z G x )  <Q 
( z G y ) ) )
genpnnp.4  |-  ( x G y )  =  ( y G x )
Assertion
Ref Expression
genpnnp  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z, w, v    x, G    y, w, v, G, z    w, A, v   
w, B, v    w, F, v
Allowed substitution hints:    F( x, y, z)

Proof of Theorem genpnnp
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prpssnq 8614 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  A  C.  Q. )
2 pssnel 3519 . . . . 5  |-  ( A 
C.  Q.  ->  E. w
( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
) )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  E. w
( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
) )
4 prpssnq 8614 . . . . 5  |-  ( B  e.  P.  ->  B  C.  Q. )
5 pssnel 3519 . . . . 5  |-  ( B 
C.  Q.  ->  E. v
( v  e.  Q.  /\ 
-.  v  e.  B
) )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( B  e.  P.  ->  E. v
( v  e.  Q.  /\ 
-.  v  e.  B
) )
73, 6anim12i 549 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. w ( w  e.  Q.  /\  -.  w  e.  A
)  /\  E. v
( v  e.  Q.  /\ 
-.  v  e.  B
) ) )
8 eeanv 1854 . . 3  |-  ( E. w E. v ( ( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
)  /\  ( v  e.  Q.  /\  -.  v  e.  B ) )  <->  ( E. w ( w  e. 
Q.  /\  -.  w  e.  A )  /\  E. v ( v  e. 
Q.  /\  -.  v  e.  B ) ) )
97, 8sylibr 203 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  E. w E. v
( ( w  e. 
Q.  /\  -.  w  e.  A )  /\  (
v  e.  Q.  /\  -.  v  e.  B
) ) )
10 prub 8618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  w  e.  A  ->  f  <Q  w ) )
11 prub 8618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( -.  v  e.  B  ->  g  <Q 
v ) )
1210, 11im2anan9 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  f  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  /\  (
( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  /\  v  e.  Q. ) )  ->  (
( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  ->  (
f  <Q  w  /\  g  <Q  v ) ) )
13 elprnq 8615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  Q. )
1413anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  ->  ( f  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. ) )
15 elprnq 8615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  ->  g  e.  Q. )
1615anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( g  e. 
Q.  /\  v  e.  Q. ) )
17 ltsonq 8593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  <Q  Or  Q.
18 so2nr 4338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )
)  ->  -.  (
f  <Q  w  /\  w  <Q  f ) )
1917, 18mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  -.  ( f  <Q  w  /\  w  <Q  f
) )
2019ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( f  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  /\  ( w G v )  =  ( f G g ) )  ->  -.  ( f  <Q  w  /\  w  <Q  f ) )
21 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  v  e.  Q. )
22 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  f  e.  Q. )
2321, 22anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  /\  ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )
)  ->  ( v  e.  Q.  /\  f  e. 
Q. ) )
2423ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  ->  ( v  e.  Q.  /\  f  e. 
Q. ) )
25 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  w  e. 
_V
26 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  v  e. 
_V
27 genpnnp.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
x  <Q  y  <->  ( z G x )  <Q 
( z G y ) ) )
28 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  f  e. 
_V
29 genpnnp.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x G y )  =  ( y G x )
30 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  g  e. 
_V
3125, 26, 27, 28, 29, 30caovord3 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  /\  ( w G v )  =  ( f G g ) )  ->  ( w  <Q  f  <-> 
g  <Q  v ) )
3231anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  /\  ( w G v )  =  ( f G g ) )  ->  ( ( f 
<Q  w  /\  w  <Q  f )  <->  ( f  <Q  w  /\  g  <Q 
v ) ) )
3324, 32sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( f  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  /\  ( w G v )  =  ( f G g ) )  ->  (
( f  <Q  w  /\  w  <Q  f )  <-> 
( f  <Q  w  /\  g  <Q  v ) ) )
3420, 33mtbid 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( f  e. 
Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  (
g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  /\  ( w G v )  =  ( f G g ) )  ->  -.  ( f  <Q  w  /\  g  <Q  v ) )
3534ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  ->  ( (
w G v )  =  ( f G g )  ->  -.  ( f  <Q  w  /\  g  <Q  v ) ) )
3635con2d 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( g  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  ->  ( (
f  <Q  w  /\  g  <Q  v )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) )
3714, 16, 36syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  f  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  /\  (
( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  /\  v  e.  Q. ) )  ->  (
( f  <Q  w  /\  g  <Q  v )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) )
3812, 37syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  f  e.  A )  /\  w  e.  Q. )  /\  (
( B  e.  P.  /\  g  e.  B )  /\  v  e.  Q. ) )  ->  (
( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) )
3938an4s 799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  f  e.  A )  /\  ( B  e.  P.  /\  g  e.  B ) )  /\  ( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  ->  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B
)  ->  -.  (
w G v )  =  ( f G g ) ) )
4039ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ( w  e. 
Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B
)  ->  -.  (
w G v )  =  ( f G g ) ) ) )
4140an4s 799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( f  e.  A  /\  g  e.  B
) )  ->  (
( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) ) )
4241ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( f  e.  A  /\  g  e.  B )  ->  (
( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) ) ) )
4342com24 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  ->  (
( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( ( f  e.  A  /\  g  e.  B )  ->  -.  ( w G v )  =  ( f G g ) ) ) ) )
4443imp32 422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
) )  ->  (
( f  e.  A  /\  g  e.  B
)  ->  -.  (
w G v )  =  ( f G g ) ) )
4544ralrimivv 2634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
) )  ->  A. f  e.  A  A. g  e.  B  -.  (
w G v )  =  ( f G g ) )
46 ralnex 2553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. g  e.  B  -.  ( w G v )  =  ( f G g )  <->  -.  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) )
4746ralbii 2567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. f  e.  A  A. g  e.  B  -.  ( w G v )  =  ( f G g )  <->  A. f  e.  A  -.  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) )
48 ralnex 2553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. f  e.  A  -.  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g )  <->  -.  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) )
4947, 48bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. f  e.  A  A. g  e.  B  -.  ( w G v )  =  ( f G g )  <->  -.  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) )
5045, 49sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
) )  ->  -.  E. f  e.  A  E. g  e.  B  (
w G v )  =  ( f G g ) )
51 genp.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
52 genp.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
5351, 52genpelv 8624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( w G v )  e.  ( A F B )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) ) )
5453adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
) )  ->  (
( w G v )  e.  ( A F B )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( w G v )  =  ( f G g ) ) )
5550, 54mtbird 292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
) )  ->  -.  ( w G v )  e.  ( A F B ) )
5655expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B )  /\  (
w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )
)  ->  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  ( w G v )  e.  ( A F B ) ) )
5756ancoms 439 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  /\  ( -.  w  e.  A  /\  -.  v  e.  B ) )  -> 
( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  (
w G v )  e.  ( A F B ) ) )
5857an4s 799 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
)  /\  ( v  e.  Q.  /\  -.  v  e.  B ) )  -> 
( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  (
w G v )  e.  ( A F B ) ) )
5952caovcl 6014 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( w G v )  e.  Q. )
60 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A F B )  =  Q.  ->  (
( w G v )  e.  ( A F B )  <->  ( w G v )  e. 
Q. ) )
6160biimprcd 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( w G v )  e.  Q.  ->  (
( A F B )  =  Q.  ->  ( w G v )  e.  ( A F B ) ) )
6261con3d 125 . . . . . . 7  |-  ( ( w G v )  e.  Q.  ->  ( -.  ( w G v )  e.  ( A F B )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. )
)
6359, 62syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( -.  ( w G v )  e.  ( A F B )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. ) )
6463ad2ant2r 727 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
)  /\  ( v  e.  Q.  /\  -.  v  e.  B ) )  -> 
( -.  ( w G v )  e.  ( A F B )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. ) )
6558, 64syld 40 . . . 4  |-  ( ( ( w  e.  Q.  /\ 
-.  w  e.  A
)  /\  ( v  e.  Q.  /\  -.  v  e.  B ) )  -> 
( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. ) )
6665com12 27 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( ( w  e.  Q.  /\  -.  w  e.  A )  /\  ( v  e.  Q.  /\ 
-.  v  e.  B
) )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. ) )
6766exlimdvv 1668 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. w E. v ( ( w  e.  Q.  /\  -.  w  e.  A )  /\  ( v  e.  Q.  /\ 
-.  v  e.  B
) )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. ) )
689, 67mpd 14 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  -.  ( A F B )  =  Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544    C. wpss 3153   class class class wbr 4023    Or wor 4313  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Q.cnq 8474    <Q cltq 8480   P.cnp 8481
This theorem is referenced by:  genpcl  8632
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ni 8496  df-mi 8498  df-lti 8499  df-ltpq 8534  df-enq 8535  df-nq 8536  df-ltnq 8542  df-np 8605
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