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Theorem genpv 8623
Description: Value of general operation (addition or multiplication) on positive reals. (Contributed by NM, 10-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
genp.2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
genpv  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A F B )  =  { f  |  E. g  e.  A  E. h  e.  B  f  =  ( g G h ) } )
Distinct variable groups:    x, y,
z, f, g, h, A    x, B, y, z, f, g, h   
x, w, v, G, y, z, f, g, h    f, F, g
Allowed substitution hints:    A( w, v)    B( w, v)    F( x, y, z, w, v, h)

Proof of Theorem genpv
StepHypRef Expression
1 oveq1 5865 . . . 4  |-  ( f  =  A  ->  (
f F g )  =  ( A F g ) )
2 rexeq 2737 . . . . 5  |-  ( f  =  A  ->  ( E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) ) )
32abbidv 2397 . . . 4  |-  ( f  =  A  ->  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  =  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) } )
41, 3eqeq12d 2297 . . 3  |-  ( f  =  A  ->  (
( f F g )  =  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  <-> 
( A F g )  =  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) } ) )
5 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( g  =  B  ->  ( A F g )  =  ( A F B ) )
6 rexeq 2737 . . . . . 6  |-  ( g  =  B  ->  ( E. z  e.  g  x  =  ( y G z )  <->  E. z  e.  B  x  =  ( y G z ) ) )
76rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( g  =  B  ->  ( E. y  e.  A  E. z  e.  g  x  =  ( y G z )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y G z ) ) )
87abbidv 2397 . . . 4  |-  ( g  =  B  ->  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  =  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y G z ) } )
95, 8eqeq12d 2297 . . 3  |-  ( g  =  B  ->  (
( A F g )  =  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  <-> 
( A F B )  =  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y G z ) } ) )
10 elprnq 8615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  P.  /\  y  e.  f )  ->  y  e.  Q. )
11 elprnq 8615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  P.  /\  z  e.  g )  ->  z  e.  Q. )
12 genp.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y G z )  e.  Q. )
13 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y G z )  ->  (
x  e.  Q.  <->  ( y G z )  e. 
Q. ) )
1412, 13syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
1510, 11, 14syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  P.  /\  y  e.  f )  /\  ( g  e. 
P.  /\  z  e.  g ) )  -> 
( x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
1615an4s 799 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  /\  ( y  e.  f  /\  z  e.  g ) )  ->  (
x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. )
)
1716rexlimdvva 2674 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  ->  ( E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z )  ->  x  e.  Q. ) )
1817abssdv 3247 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  ->  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  C_  Q. )
19 nqex 8547 . . . . 5  |-  Q.  e.  _V
20 ssexg 4160 . . . . 5  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  C_  Q.  /\  Q.  e.  _V )  ->  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  e.  _V )
2118, 19, 20sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  ->  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  e.  _V )
22 rexeq 2737 . . . . . 6  |-  ( w  =  f  ->  ( E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z )  <->  E. y  e.  f  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) ) )
2322abbidv 2397 . . . . 5  |-  ( w  =  f  ->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  =  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
24 rexeq 2737 . . . . . . 7  |-  ( v  =  g  ->  ( E. z  e.  v  x  =  ( y G z )  <->  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) ) )
2524rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( v  =  g  ->  ( E. y  e.  f  E. z  e.  v  x  =  ( y G z )  <->  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) ) )
2625abbidv 2397 . . . . 5  |-  ( v  =  g  ->  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) }  =  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) } )
27 genp.1 . . . . 5  |-  F  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y G z ) } )
2823, 26, 27ovmpt2g 5982 . . . 4  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P.  /\  {
x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) }  e.  _V )  ->  ( f F g )  =  {
x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) } )
2921, 28mpd3an3 1278 . . 3  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  ->  ( f F g )  =  { x  |  E. y  e.  f  E. z  e.  g  x  =  ( y G z ) } )
304, 9, 29vtocl2ga 2851 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A F B )  =  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y G z ) } )
31 eqeq1 2289 . . . . 5  |-  ( x  =  f  ->  (
x  =  ( y G z )  <->  f  =  ( y G z ) ) )
32312rexbidv 2586 . . . 4  |-  ( x  =  f  ->  ( E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y G z )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  f  =  ( y G z ) ) )
33 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( y  =  g  ->  (
y G z )  =  ( g G z ) )
3433eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( y  =  g  ->  (
f  =  ( y G z )  <->  f  =  ( g G z ) ) )
35 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( z  =  h  ->  (
g G z )  =  ( g G h ) )
3635eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( z  =  h  ->  (
f  =  ( g G z )  <->  f  =  ( g G h ) ) )
3734, 36cbvrex2v 2773 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  B  f  =  ( y G z )  <->  E. g  e.  A  E. h  e.  B  f  =  ( g G h ) )
3832, 37syl6bb 252 . . 3  |-  ( x  =  f  ->  ( E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y G z )  <->  E. g  e.  A  E. h  e.  B  f  =  ( g G h ) ) )
3938cbvabv 2402 . 2  |-  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y G z ) }  =  { f  |  E. g  e.  A  E. h  e.  B  f  =  ( g G h ) }
4030, 39syl6eq 2331 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A F B )  =  { f  |  E. g  e.  A  E. h  e.  B  f  =  ( g G h ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Q.cnq 8474   P.cnp 8481
This theorem is referenced by:  genpelv  8624  plpv  8634  mpv  8635
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-ni 8496  df-nq 8536  df-np 8605
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