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Theorem geo2sum 12345
Description: The value of the finite geometric series  2 ^ -u 1  +  2 ^ -u 2  +...  +  2 ^
-u N, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  /  (
2 ^ k ) )  =  ( A  -  ( A  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N

Proof of Theorem geo2sum
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10069 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
21a1i 10 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  1  e.  ZZ )
3 nnz 10061 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
43adantr 451 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  N  e.  ZZ )
5 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  CC )
6 2nn 9893 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
7 elfznn 10835 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
87adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN )
98nnnn0d 10034 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
10 nnexpcl 11132 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
116, 9, 10sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2 ^ k )  e.  NN )
1211nncnd 9778 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2 ^ k )  e.  CC )
1311nnne0d 9806 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2 ^ k )  =/=  0 )
145, 12, 13divcld 9552 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ k ) )  e.  CC )
15 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
1615oveq2d 5890 . . 3  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
172, 2, 4, 14, 16fsumshftm 12259 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  /  (
2 ^ k ) )  =  sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  / 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
18 1m1e0 9830 . . . . 5  |-  ( 1  -  1 )  =  0
1918oveq1i 5884 . . . 4  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
2019sumeq1i 12187 . . 3  |-  sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  / 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( A  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
21 nnrecre 9798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
226, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
2322recni 8865 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
24 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
2524adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  j  e.  NN0 )
26 expcl 11137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  e.  CC )
2723, 25, 26sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 ) ^ j )  e.  CC )
28 2cn 9832 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
2928a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  e.  CC )
30 2ne0 9845 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
3130a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  =/=  0 )
3227, 29, 31divrecd 9555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ j )  /  2 )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  (
1  /  2 ) ) )
33 expp1 11126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
j  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
3423, 25, 33sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 ) ^ ( j  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  (
1  /  2 ) ) )
35 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
3635peano2zd 10136 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  ZZ )
3736adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ZZ )
3829, 31, 37exprecd 11269 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 ) ^ ( j  +  1 ) )  =  ( 1  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
3932, 34, 383eqtr2rd 2335 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  /  2
) )
4039oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( A  x.  ( ( ( 1  /  2
) ^ j )  /  2 ) ) )
41 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
42 peano2nn0 10020 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
4325, 42syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
44 nnexpcl 11132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN )
456, 43, 44sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
4645nncnd 9778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  CC )
4745nnne0d 9806 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
4841, 46, 47divrecd 9555 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( A  x.  (
1  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
4927, 41, 29, 31div12d 9588 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( A  / 
2 ) )  =  ( A  x.  (
( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  /  2 ) ) )
5040, 48, 493eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  ( A  /  2 ) ) )
5150sumeq2dv 12192 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 1  /  2 ) ^ j )  x.  ( A  /  2
) ) )
52 fzfid 11051 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
53 halfcl 9953 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
5453adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  /  2
)  e.  CC )
5552, 54, 27fsummulc1 12263 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  x.  ( A  /  2 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  ( A  /  2 ) ) )
5651, 55eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( A  / 
2 ) ) )
5720, 56syl5eq 2340 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( A  / 
2 ) ) )
5828a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
5930a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  2  =/=  0 )
6058, 59, 4exprecd 11269 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ N
)  =  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )
6160oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
( 1  /  2
) ^ N ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
62 ax-1cn 8811 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
63 2halves 9956 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
6462, 63ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  1
6562, 23, 23, 64subaddrii 9151 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
6665a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
6761, 66oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ N
) )  /  (
1  -  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) ) )
68 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
6968, 58, 59divrec2d 9556 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) )
7067, 69oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  / 
( 1  -  (
1  /  2 ) ) )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) )
71 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
7271adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  N  e.  NN0 )
73 nnexpcl 11132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  NN )
746, 72, 73sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN )
7574nnrecred 9807 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
7675recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  CC )
77 subcl 9067 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( 1  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  CC )
7862, 76, 77sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  /  ( 2 ^ N ) ) )  e.  CC )
7923a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
80 0re 8854 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
81 halfgt0 9948 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 1  /  2
)
8280, 81gtneii 8946 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  =/=  0
8382a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
8478, 79, 83divcld 9552 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( 1  /  (
2 ^ N ) ) )  /  (
1  /  2 ) )  e.  CC )
8584, 79, 68mulassd 8874 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( ( 1  -  (
1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )
8678, 79, 83divcan1d 9553 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) )  / 
( 1  /  2
) )  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
8786oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  x.  A ) )
8870, 85, 873eqtr2d 2334 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  / 
( 1  -  (
1  /  2 ) ) )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) )  x.  A ) )
89 halflt1 9949 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  <  1
9022, 89ltneii 8947 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  =/=  1
9190a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  2
)  =/=  1 )
9279, 91, 72geoser 12341 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  =  ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) ) )
9392oveq1d 5889 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) )  x.  ( A  /  2
) ) )
94 mulid2 8852 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
9594adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  x.  A
)  =  A )
9695eqcomd 2301 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  A  =  ( 1  x.  A ) )
9774nncnd 9778 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
9874nnne0d 9806 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2 ^ N
)  =/=  0 )
9968, 97, 98divrec2d 9556 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  /  (
2 ^ N ) )  =  ( ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  x.  A ) )
10096, 99oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( ( 1  x.  A )  -  ( ( 1  / 
( 2 ^ N
) )  x.  A
) ) )
10162a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
102101, 76, 68subdird 9252 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( 1  /  (
2 ^ N ) ) )  x.  A
)  =  ( ( 1  x.  A )  -  ( ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  x.  A ) ) )
103100, 102eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) )  x.  A ) )
10488, 93, 1033eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( A  -  ( A  /  (
2 ^ N ) ) ) )
10517, 57, 1043eqtrd 2332 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  /  (
2 ^ k ) )  =  ( A  -  ( A  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ...cfz 10798   ^cexp 11120   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  geo2lim  12347  ovollb2lem  18863  ovoliunlem1  18877
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175
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