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Theorem geo2sum 12329
Description: The value of the finite geometric series  2 ^ -u 1  +  2 ^ -u 2  +...  +  2 ^
-u N, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  /  (
2 ^ k ) )  =  ( A  -  ( A  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N

Proof of Theorem geo2sum
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10053 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
21a1i 10 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  1  e.  ZZ )
3 nnz 10045 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
43adantr 451 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  N  e.  ZZ )
5 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  CC )
6 2nn 9877 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
7 elfznn 10819 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
87adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN )
98nnnn0d 10018 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
10 nnexpcl 11116 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
116, 9, 10sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2 ^ k )  e.  NN )
1211nncnd 9762 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2 ^ k )  e.  CC )
1311nnne0d 9790 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2 ^ k )  =/=  0 )
145, 12, 13divcld 9536 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ k ) )  e.  CC )
15 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
1615oveq2d 5874 . . 3  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
172, 2, 4, 14, 16fsumshftm 12243 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  /  (
2 ^ k ) )  =  sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  / 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
18 1m1e0 9814 . . . . 5  |-  ( 1  -  1 )  =  0
1918oveq1i 5868 . . . 4  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
2019sumeq1i 12171 . . 3  |-  sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  / 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( A  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
21 nnrecre 9782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
226, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
2322recni 8849 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
24 elfznn0 10822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
2524adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  j  e.  NN0 )
26 expcl 11121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  e.  CC )
2723, 25, 26sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 ) ^ j )  e.  CC )
28 2cn 9816 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
2928a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  e.  CC )
30 2ne0 9829 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
3130a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  =/=  0 )
3227, 29, 31divrecd 9539 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ j )  /  2 )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  (
1  /  2 ) ) )
33 expp1 11110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
j  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
3423, 25, 33sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 ) ^ ( j  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  (
1  /  2 ) ) )
35 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
3635peano2zd 10120 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  ZZ )
3736adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ZZ )
3829, 31, 37exprecd 11253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 ) ^ ( j  +  1 ) )  =  ( 1  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
3932, 34, 383eqtr2rd 2322 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  /  2
) )
4039oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( A  x.  ( ( ( 1  /  2
) ^ j )  /  2 ) ) )
41 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
42 peano2nn0 10004 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
4325, 42syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
44 nnexpcl 11116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN )
456, 43, 44sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
4645nncnd 9762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  CC )
4745nnne0d 9790 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
4841, 46, 47divrecd 9539 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( A  x.  (
1  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
4927, 41, 29, 31div12d 9572 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( A  / 
2 ) )  =  ( A  x.  (
( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  /  2 ) ) )
5040, 48, 493eqtr4d 2325 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  ( A  /  2 ) ) )
5150sumeq2dv 12176 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 1  /  2 ) ^ j )  x.  ( A  /  2
) ) )
52 fzfid 11035 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
53 halfcl 9937 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
5453adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  /  2
)  e.  CC )
5552, 54, 27fsummulc1 12247 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  x.  ( A  /  2 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  ( A  /  2 ) ) )
5651, 55eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( A  / 
2 ) ) )
5720, 56syl5eq 2327 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( A  / 
2 ) ) )
5828a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
5930a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  2  =/=  0 )
6058, 59, 4exprecd 11253 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ N
)  =  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )
6160oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
( 1  /  2
) ^ N ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
62 ax-1cn 8795 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
63 2halves 9940 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
6462, 63ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  1
6562, 23, 23, 64subaddrii 9135 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
6665a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
6761, 66oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ N
) )  /  (
1  -  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) ) )
68 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
6968, 58, 59divrec2d 9540 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) )
7067, 69oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  / 
( 1  -  (
1  /  2 ) ) )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) )
71 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
7271adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  N  e.  NN0 )
73 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  NN )
746, 72, 73sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN )
7574nnrecred 9791 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
7675recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  CC )
77 subcl 9051 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( 1  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  CC )
7862, 76, 77sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  /  ( 2 ^ N ) ) )  e.  CC )
7923a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
80 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
81 halfgt0 9932 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 1  /  2
)
8280, 81gtneii 8930 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  =/=  0
8382a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
8478, 79, 83divcld 9536 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( 1  /  (
2 ^ N ) ) )  /  (
1  /  2 ) )  e.  CC )
8584, 79, 68mulassd 8858 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( ( 1  -  (
1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )
8678, 79, 83divcan1d 9537 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) )  / 
( 1  /  2
) )  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
8786oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  x.  A ) )
8870, 85, 873eqtr2d 2321 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  / 
( 1  -  (
1  /  2 ) ) )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) )  x.  A ) )
89 halflt1 9933 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  <  1
9022, 89ltneii 8931 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  =/=  1
9190a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  2
)  =/=  1 )
9279, 91, 72geoser 12325 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  =  ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) ) )
9392oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) )  x.  ( A  /  2
) ) )
94 mulid2 8836 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
9594adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  x.  A
)  =  A )
9695eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  A  =  ( 1  x.  A ) )
9774nncnd 9762 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
9874nnne0d 9790 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2 ^ N
)  =/=  0 )
9968, 97, 98divrec2d 9540 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  /  (
2 ^ N ) )  =  ( ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  x.  A ) )
10096, 99oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( ( 1  x.  A )  -  ( ( 1  / 
( 2 ^ N
) )  x.  A
) ) )
10162a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
102101, 76, 68subdird 9236 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( 1  /  (
2 ^ N ) ) )  x.  A
)  =  ( ( 1  x.  A )  -  ( ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  x.  A ) ) )
103100, 102eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) )  x.  A ) )
10488, 93, 1033eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( A  -  ( A  /  (
2 ^ N ) ) ) )
10517, 57, 1043eqtrd 2319 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  /  (
2 ^ k ) )  =  ( A  -  ( A  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ...cfz 10782   ^cexp 11104   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  geo2lim  12331  ovollb2lem  18847  ovoliunlem1  18861
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
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