MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geo2sum2 Unicode version

Theorem geo2sum2 12580
Description: The value of the finite geometric series  1  +  2  +  4  +  8  +...  +  2 ^ ( N  -  1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum2  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ N ) ( 2 ^ k
)  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )
Distinct variable group:    k, N

Proof of Theorem geo2sum2
StepHypRef Expression
1 nn0z 10238 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
2 fzoval 11073 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0..^ N )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ N )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
43sumeq1d 12424 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ N ) ( 2 ^ k
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2 ^ k ) )
5 2cn 10004 . . . 4  |-  2  e.  CC
65a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
7 1ne2 10121 . . . . 5  |-  1  =/=  2
87necomi 2634 . . . 4  |-  2  =/=  1
98a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  =/=  1 )
10 id 20 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e. 
NN0 )
116, 9, 10geoser 12575 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2 ^ k )  =  ( ( 1  -  (
2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) ) )
126, 10expcld 11452 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ N )  e.  CC )
13 ax-1cn 8983 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
1512, 14subcld 9345 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ N )  -  1 )  e.  CC )
16 ax-1ne0 8994 . . . . 5  |-  1  =/=  0
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  =/=  0 )
1815, 14, 17div2negd 9739 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -u ( ( 2 ^ N )  -  1 )  /  -u 1
)  =  ( ( ( 2 ^ N
)  -  1 )  /  1 ) )
1912, 14negsubdi2d 9361 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  -u (
( 2 ^ N
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ N
) ) )
20 2m1e1 10029 . . . . . . 7  |-  ( 2  -  1 )  =  1
2120negeqi 9233 . . . . . 6  |-  -u (
2  -  1 )  =  -u 1
225, 13negsubdi2i 9320 . . . . . 6  |-  -u (
2  -  1 )  =  ( 1  -  2 )
2321, 22eqtr3i 2411 . . . . 5  |-  -u 1  =  ( 1  -  2 )
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  -u 1  =  ( 1  -  2 ) )
2519, 24oveq12d 6040 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -u ( ( 2 ^ N )  -  1 )  /  -u 1
)  =  ( ( 1  -  ( 2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) ) )
2615div1d 9716 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ N
)  -  1 )  /  1 )  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )
2718, 25, 263eqtr3d 2429 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  -  ( 2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )
284, 11, 273eqtrd 2425 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ N ) ( 2 ^ k
)  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552  (class class class)co 6022   CCcc 8923   0cc0 8925   1c1 8926    - cmin 9225   -ucneg 9226    / cdiv 9611   2c2 9983   NN0cn0 10155   ZZcz 10216   ...cfz 10977  ..^cfzo 11067   ^cexp 11311   sum_csu 12408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-sum 12409
  Copyright terms: Public domain W3C validator