MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoisum Unicode version

Theorem geoisum 12582
Description: The infinite sum of  1  +  A ^ 1  +  A ^ 2... is  ( 1  /  ( 1  -  A ) ). (Contributed by NM, 15-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisum  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  sum_ k  e.  NN0  ( A ^ k )  =  ( 1  /  (
1  -  A ) ) )
Distinct variable group:    A, k

Proof of Theorem geoisum
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10453 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10226 . . 3  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
0  e.  ZZ )
4 oveq2 6029 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ k
) )
5 eqid 2388 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) )
6 ovex 6046 . . . 4  |-  ( A ^ k )  e. 
_V
74, 5, 6fvmpt 5746 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
87adantl 453 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
9 expcl 11327 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  CC )
109adantlr 696 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A ^
k )  e.  CC )
11 simpl 444 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  A  e.  CC )
12 simpr 448 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  <  1 )
1311, 12, 8geolim 12575 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  A ) ) )
141, 3, 8, 10, 13isumclim 12469 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  sum_ k  e.  NN0  ( A ^ k )  =  ( 1  /  (
1  -  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   0cc0 8924   1c1 8925    < clt 9054    - cmin 9224    / cdiv 9610   NN0cn0 10154   ZZcz 10215   ^cexp 11310   abscabs 11967   sum_csu 12407
This theorem is referenced by:  logtayl  20419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408
  Copyright terms: Public domain W3C validator