Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geolim2 Structured version   Unicode version

Theorem geolim2 12686
 Description: The partial sums in the geometric series ... converge to . (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim.1
geolim.2
geolim2.3
geolim2.4
Assertion
Ref Expression
geolim2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem geolim2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3
2 geolim2.3 . . . 4
32nn0zd 10411 . . 3
4 geolim2.4 . . 3
5 geolim.1 . . . . 5
65adantr 453 . . . 4
7 eluznn0 10584 . . . . 5
82, 7sylan 459 . . . 4
96, 8expcld 11561 . . 3
10 oveq2 6125 . . . . . . . 8
11 eqid 2443 . . . . . . . 8
12 ovex 6142 . . . . . . . 8
1310, 11, 12fvmpt 5842 . . . . . . 7
148, 13syl 16 . . . . . 6
1514, 4eqtr4d 2478 . . . . 5
163, 15seqfeq 11386 . . . 4
17 geolim.2 . . . . . . 7
18 oveq2 6125 . . . . . . . . 9
19 ovex 6142 . . . . . . . . 9
2018, 11, 19fvmpt 5842 . . . . . . . 8
2120adantl 454 . . . . . . 7
225, 17, 21geolim 12685 . . . . . 6
23 seqex 11363 . . . . . . 7
24 ovex 6142 . . . . . . 7
2523, 24breldm 5109 . . . . . 6
2622, 25syl 16 . . . . 5
27 nn0uz 10558 . . . . . 6
28 expcl 11437 . . . . . . . 8
295, 28sylan 459 . . . . . . 7
3021, 29eqeltrd 2517 . . . . . 6
3127, 2, 30iserex 12488 . . . . 5
3226, 31mpbid 203 . . . 4
3316, 32eqeltrrd 2518 . . 3
341, 3, 4, 9, 33isumclim2 12580 . 2
3513adantl 454 . . . . . . 7
36 expcl 11437 . . . . . . . 8
375, 36sylan 459 . . . . . . 7
3827, 1, 2, 35, 37, 26isumsplit 12658 . . . . . 6
39 0z 10331 . . . . . . . 8
4039a1i 11 . . . . . . 7
4127, 40, 35, 37, 22isumclim 12579 . . . . . 6
4238, 41eqtr3d 2477 . . . . 5
43 1re 9128 . . . . . . . . . . 11
4443ltnri 9220 . . . . . . . . . 10
45 fveq2 5763 . . . . . . . . . . . 12
46 abs1 12140 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46syl6eq 2491 . . . . . . . . . . 11
4847breq1d 4253 . . . . . . . . . 10
4944, 48mtbiri 296 . . . . . . . . 9
5049necon2ai 2656 . . . . . . . 8
5117, 50syl 16 . . . . . . 7
525, 51, 2geoser 12684 . . . . . 6
5352oveq1d 6132 . . . . 5
5442, 53eqtr3d 2477 . . . 4
5554oveq1d 6132 . . 3
56 ax-1cn 9086 . . . . . 6
5756a1i 11 . . . . 5
585, 2expcld 11561 . . . . . 6
59 subcl 9343 . . . . . 6
6056, 58, 59sylancr 646 . . . . 5
61 subcl 9343 . . . . . 6
6256, 5, 61sylancr 646 . . . . 5
6351necomd 2694 . . . . . 6
64 subeq0 9365 . . . . . . . 8
6556, 5, 64sylancr 646 . . . . . . 7
6665necon3bid 2643 . . . . . 6
6763, 66mpbird 225 . . . . 5
6857, 60, 62, 67divsubdird 9867 . . . 4
69 nncan 9368 . . . . . 6
7056, 58, 69sylancr 646 . . . . 5
7170oveq1d 6132 . . . 4
7268, 71eqtr3d 2477 . . 3
7360, 62, 67divcld 9828 . . . 4
741, 3, 14, 9, 32isumcl 12583 . . . 4
7573, 74pncan2d 9451 . . 3
7655, 72, 753eqtr3rd 2484 . 2
7734, 76breqtrd 4267 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1654   wcel 1728   wne 2606   class class class wbr 4243   cmpt 4297   cdm 4913  cfv 5489  (class class class)co 6117  cc 9026  cc0 9028  c1 9029   caddc 9031   clt 9158   cmin 9329   cdiv 9715  cn0 10259  cz 10320  cuz 10526  cfz 11081   cseq 11361  cexp 11420  cabs 12077   cli 12316  csu 12517 This theorem is referenced by:  geoisum1  12694  geoisum1c  12695  rpnnen2lem3  12854  rpnnen2lem9  12860  abelthlem7  20392  log2tlbnd  20823  geomcau  26507  stirlinglem10  27920 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-er 6941  df-pm 7057  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-sup 7482  df-oi 7515  df-card 7864  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-rp 10651  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-fl 11240  df-seq 11362  df-exp 11421  df-hash 11657  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-clim 12320  df-rlim 12321  df-sum 12518
 Copyright terms: Public domain W3C validator