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Theorem geomcau 26156
Description: If the distance between consecutive points in a sequence is bounded by a geometric sequence, then the sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim2.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lmclim2.3  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
geomcau.4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
geomcau.5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
geomcau.6  |-  ( ph  ->  B  <  1 )
geomcau.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( B ^ k ) ) )
Assertion
Ref Expression
geomcau  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Distinct variable groups:    D, k    k, F    k, X    A, k    B, k    ph, k

Proof of Theorem geomcau
Dummy variables  j  n  x  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10453 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10243 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 geomcau.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
54rpcnd 10582 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
64rpred 10580 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
74rpge0d 10584 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
86, 7absidd 12152 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  =  B )
9 geomcau.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  <  1 )
108, 9eqbrtrd 4173 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  <  1 )
115, 10expcnv 12570 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN0  |->  ( B ^ m ) )  ~~>  0 )
12 geomcau.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
13 1re 9023 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
14 resubcl 9297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  -  B
)  e.  RR )
1513, 6, 14sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  e.  RR )
16 posdif 9453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( B  <  1  <->  0  <  ( 1  -  B ) ) )
176, 13, 16sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  <  1  <->  0  <  ( 1  -  B ) ) )
189, 17mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  B ) )
1915, 18elrpd 10578 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  e.  RR+ )
2012, 19rerpdivcld 10607 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
1  -  B ) )  e.  RR )
2120recnd 9047 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
1  -  B ) )  e.  CC )
22 nnex 9938 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
2322mptex 5905 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^ m )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) ) )  e.  _V
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^
m )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  e.  _V )
25 nnnn0 10160 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
2625adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
27 oveq2 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( B ^ m )  =  ( B ^ n
) )
28 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  |->  ( B ^ m ) )  =  ( m  e. 
NN0  |->  ( B ^
m ) )
29 ovex 6045 . . . . . . . . 9  |-  ( B ^ n )  e. 
_V
3027, 28, 29fvmpt 5745 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( B ^ m ) ) `
 n )  =  ( B ^ n
) )
3126, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( B ^ m ) ) `
 n )  =  ( B ^ n
) )
32 nnz 10235 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
33 rpexpcl 11327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( B ^ n )  e.  RR+ )
344, 32, 33syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( B ^ n )  e.  RR+ )
3534rpcnd 10582 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( B ^ n )  e.  CC )
3631, 35eqeltrd 2461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( B ^ m ) ) `
 n )  e.  CC )
3721adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A  /  ( 1  -  B ) )  e.  CC )
3835, 37mulcomd 9042 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( B ^ n )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) )  =  ( ( A  / 
( 1  -  B
) )  x.  ( B ^ n ) ) )
3927oveq1d 6035 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( B ^ m
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) )  =  ( ( B ^ n )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )
40 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^ m )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^ m )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )
41 ovex 6045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B ^ n )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) )  e. 
_V
4239, 40, 41fvmpt 5745 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( B ^
m )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) ) `  n )  =  ( ( B ^ n )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )
4342adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^ m
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) ) `  n )  =  ( ( B ^ n )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )
4431oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( 1  -  B ) )  x.  ( ( m  e.  NN0  |->  ( B ^ m ) ) `
 n ) )  =  ( ( A  /  ( 1  -  B ) )  x.  ( B ^ n
) ) )
4538, 43, 443eqtr4d 2429 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^ m
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) ) `  n )  =  ( ( A  /  ( 1  -  B ) )  x.  ( ( m  e. 
NN0  |->  ( B ^
m ) ) `  n ) ) )
461, 3, 11, 21, 24, 36, 45climmulc2 12357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^
m )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  ~~>  ( ( A  /  ( 1  -  B ) )  x.  0 ) )
4721mul01d 9197 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 1  -  B
) )  x.  0 )  =  0 )
4846, 47breqtrd 4177 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^
m )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  ~~>  0 )
4934rpred 10580 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( B ^ n )  e.  RR )
5020adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A  /  ( 1  -  B ) )  e.  RR )
5149, 50remulcld 9049 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( B ^ n )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) )  e.  RR )
5251recnd 9047 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( B ^ n )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) )  e.  CC )
531, 3, 24, 43, 52clim0c 12228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^ m )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )  ~~>  0  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( B ^ n
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x ) )
5448, 53mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( B ^
n )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x )
55 nnz 10235 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
5655adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
57 uzid 10432 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
58 oveq2 6028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  ( B ^ n )  =  ( B ^ j
) )
5958oveq1d 6035 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
( B ^ n
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) )  =  ( ( B ^ j )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )
6059fveq2d 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( abs `  ( ( B ^ n )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )  =  ( abs `  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) ) )
6160breq1d 4163 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  (
( abs `  (
( B ^ n
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( B ^
j )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x ) )
6261rspcv 2991 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( B ^
n )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x ) )
6356, 57, 623syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( B ^ n )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) ) )  <  x  ->  ( abs `  ( ( B ^ j )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )  < 
x ) )
64 lmclim2.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
6564adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
66 lmclim2.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
67 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
j  e.  NN )
68 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> X  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j
)  e.  X )
6966, 67, 68syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  j )  e.  X )
701uztrn2 10435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  n  e.  NN )
71 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> X  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  X )
7266, 70, 71syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  n )  e.  X )
73 metcl 18271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X )  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 n ) )  e.  RR )
7465, 69, 72, 73syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 n ) )  e.  RR )
75 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  j )  =  (
ZZ>= `  j )
76 nnnn0 10160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
7776ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  e.  NN0 )
7877nn0zd 10305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  e.  ZZ )
79 oveq2 6028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  k  ->  ( B ^ m )  =  ( B ^ k
) )
8079oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  k  ->  ( A  x.  ( B ^ m ) )  =  ( A  x.  ( B ^ k ) ) )
81 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( A  x.  ( B ^ m ) ) )  =  ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( A  x.  ( B ^
m ) ) )
82 ovex 6045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  x.  ( B ^
k ) )  e. 
_V
8380, 81, 82fvmpt 5745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
m  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( A  x.  ( B ^
m ) ) ) `
 k )  =  ( A  x.  ( B ^ k ) ) )
8483adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( A  x.  ( B ^ m ) ) ) `  k
)  =  ( A  x.  ( B ^
k ) ) )
8512ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  A  e.  RR )
866ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  B  e.  RR )
87 eluznn0 10478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN0 )
8877, 87sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  k  e.  NN0 )
8986, 88reexpcld 11467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( B ^
k )  e.  RR )
9085, 89remulcld 9049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( A  x.  ( B ^ k ) )  e.  RR )
9190recnd 9047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( A  x.  ( B ^ k ) )  e.  CC )
9212recnd 9047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
9392adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  A  e.  CC )
945adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  B  e.  CC )
9510adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  B )  <  1 )
96 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( B ^
m ) )  =  ( m  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( B ^ m ) )
97 ovex 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B ^ k )  e. 
_V
9879, 96, 97fvmpt 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
m  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( B ^ m ) ) `
 k )  =  ( B ^ k
) )
9998adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( B ^
m ) ) `  k )  =  ( B ^ k ) )
10094, 95, 77, 99geolim2 12575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  seq  j (  +  , 
( m  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( B ^ m ) ) )  ~~>  ( ( B ^ j )  /  ( 1  -  B ) ) )
10189recnd 9047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( B ^
k )  e.  CC )
10299, 101eqeltrd 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( B ^
m ) ) `  k )  e.  CC )
10399oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( A  x.  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( B ^ m
) ) `  k
) )  =  ( A  x.  ( B ^ k ) ) )
10484, 103eqtr4d 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( A  x.  ( B ^ m ) ) ) `  k
)  =  ( A  x.  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( B ^
m ) ) `  k ) ) )
10575, 78, 93, 100, 102, 104isermulc2 12378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  seq  j (  +  , 
( m  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( A  x.  ( B ^ m ) ) ) )  ~~>  ( A  x.  ( ( B ^ j )  / 
( 1  -  B
) ) ) )
1064adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  B  e.  RR+ )
107106, 78rpexpcld 11473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( B ^ j )  e.  RR+ )
108107rpcnd 10582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( B ^ j )  e.  CC )
10915recnd 9047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  e.  CC )
110109adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
1  -  B )  e.  CC )
11119rpne0d 10585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  =/=  0 )
112111adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
1  -  B )  =/=  0 )
11393, 108, 110, 112div12d 9758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( A  x.  ( ( B ^ j )  / 
( 1  -  B
) ) )  =  ( ( B ^
j )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )
114105, 113breqtrd 4177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  seq  j (  +  , 
( m  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( A  x.  ( B ^ m ) ) ) )  ~~>  ( ( B ^ j )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) ) )
11575, 78, 84, 91, 114isumclim 12468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( B ^ j )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )
116 seqex 11252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  seq  j
(  +  ,  ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( A  x.  ( B ^
m ) ) ) )  e.  _V
117 ovex 6045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  x.  ( ( B ^ j )  / 
( 1  -  B
) ) )  e. 
_V
118116, 117breldm 5014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  seq  j (  +  , 
( m  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( A  x.  ( B ^ m ) ) ) )  ~~>  ( A  x.  ( ( B ^ j )  / 
( 1  -  B
) ) )  ->  seq  j (  +  , 
( m  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( A  x.  ( B ^ m ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
119105, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  seq  j (  +  , 
( m  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( A  x.  ( B ^ m ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
12075, 78, 84, 90, 119isumrecl 12476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  ( B ^ k ) )  e.  RR )
121115, 120eqeltrrd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) )  e.  RR )
122121recnd 9047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) )  e.  CC )
123122abscld 12165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  ( ( B ^ j )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )  e.  RR )
124 fzfid 11239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j ... ( n  - 
1 ) )  e. 
Fin )
125 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  ( j ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ph )
126 elfzuz 10987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( j ... ( n  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
127 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  e.  NN )
1281uztrn2 10435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
129127, 128sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  k  e.  NN )
130126, 129sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  ( j ... ( n  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
13164adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
13266ffvelrnda 5809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  X )
133 peano2nn 9944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
134 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> X  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X
)
13566, 133, 134syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  X )
136 metcl 18271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
137131, 132, 135, 136syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
138125, 130, 137syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  ( j ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
139124, 138fsumrecl 12455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  sum_ k  e.  ( j ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
140 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  j )
)
141 elfzuz 10987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( j ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
142 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ph )
143142, 129, 132syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
144141, 143sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  ( j ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
14565, 140, 144mettrifi 26154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 n ) )  <_  sum_ k  e.  ( j ... ( n  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
146126, 90sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  ( j ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( A  x.  ( B ^ k
) )  e.  RR )
147124, 146fsumrecl 12455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  sum_ k  e.  ( j ... (
n  -  1 ) ) ( A  x.  ( B ^ k ) )  e.  RR )
148 geomcau.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( B ^ k ) ) )
149125, 130, 148syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  ( j ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( B ^ k ) ) )
150124, 138, 146, 149fsumle 12505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  sum_ k  e.  ( j ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( j ... (
n  -  1 ) ) ( A  x.  ( B ^ k ) ) )
151 fzssuz 11025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  j )
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  j )
)
153 0re 9024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
155 nnz 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
156 rpexpcl 11327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( B ^ k )  e.  RR+ )
1574, 155, 156syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( B ^ k )  e.  RR+ )
158137, 157rerpdivcld 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  /  ( B ^
k ) )  e.  RR )
15912adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
160 metge0 18284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X )  -> 
0  <_  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
161131, 132, 135, 160syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
162137, 157, 161divge0d 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  /  ( B ^ k ) ) )
163137, 159, 157ledivmul2d 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  /  ( B ^ k ) )  <_  A  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( B ^ k ) ) ) )
164148, 163mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  /  ( B ^
k ) )  <_  A )
165154, 158, 159, 162, 164letrd 9159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  A )
166142, 129, 165syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  0  <_  A
)
167142, 129, 157syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( B ^
k )  e.  RR+ )
168167rpge0d 10584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  0  <_  ( B ^ k ) )
16985, 89, 166, 168mulge0d 9535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  0  <_  ( A  x.  ( B ^ k ) ) )
17075, 78, 124, 152, 84, 90, 169, 119isumless 12552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  sum_ k  e.  ( j ... (
n  -  1 ) ) ( A  x.  ( B ^ k ) )  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  ( B ^ k ) ) )
171139, 147, 120, 150, 170letrd 9159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  sum_ k  e.  ( j ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  ( B ^ k ) ) )
17274, 139, 120, 145, 171letrd 9159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 n ) )  <_  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( A  x.  ( B ^ k ) ) )
173172, 115breqtrd 4177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 n ) )  <_  ( ( B ^ j )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )
174121leabsd 12144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) )  <_  ( abs `  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) ) )
17574, 121, 123, 173, 174letrd 9159 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 n ) )  <_  ( abs `  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) ) )
176175adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  n
) )  <_  ( abs `  ( ( B ^ j )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) ) )
17774adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  n
) )  e.  RR )
178123adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  e.  RR )
179 rpre 10550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
180179ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  x  e.  RR )
181 lelttr 9098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( B ^ j )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( F `
 j ) D ( F `  n
) )  <_  ( abs `  ( ( B ^ j )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )  /\  ( abs `  ( ( B ^ j )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) ) )  <  x )  -> 
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x ) )
182177, 178, 180, 181syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  j
) D ( F `
 n ) )  <_  ( abs `  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  /\  ( abs `  ( ( B ^
j )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  n
) )  <  x
) )
183176, 182mpand 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( B ^
j )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x  -> 
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x ) )
184183anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( abs `  ( ( B ^
j )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x  -> 
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x ) )
185184ralrimdva 2739 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( abs `  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  j
) D ( F `
 n ) )  <  x ) )
18663, 185syld 42 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( B ^ n )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) ) )  <  x  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x ) )
187186reximdva 2761 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( B ^ n
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x  ->  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  < 
x ) )
188187ralimdva 2727 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( B ^
n )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x ) )
18954, 188mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  < 
x )
190 metxmet 18273 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
19164, 190syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
192 eqidd 2388 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( F `  n
) )
193 eqidd 2388 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  =  ( F `  j
) )
1941, 191, 3, 192, 193, 66iscauf 19104 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x ) )
195189, 194mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   _Vcvv 2899    C_ wss 3263   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   dom cdm 4818   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   RR+crp 10544   ...cfz 10975    seq cseq 11250   ^cexp 11309   abscabs 11966    ~~> cli 12205   sum_csu 12406   * Metcxmt 16612   Metcme 16613   Caucca 19077
This theorem is referenced by:  bfplem1  26222
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ico 10854  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-cau 19080
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