Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  geomcau Unicode version

Theorem geomcau 26578
 Description: If the distance between consecutive points in a sequence is bounded by a geometric sequence, then the sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim2.2
lmclim2.3
geomcau.4
geomcau.5
geomcau.6
geomcau.7
Assertion
Ref Expression
geomcau
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem geomcau
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10279 . . . . . 6
2 1z 10069 . . . . . . 7
32a1i 10 . . . . . 6
4 geomcau.5 . . . . . . . 8
54rpcnd 10408 . . . . . . 7
64rpred 10406 . . . . . . . . 9
74rpge0d 10410 . . . . . . . . 9
86, 7absidd 11921 . . . . . . . 8
9 geomcau.6 . . . . . . . 8
108, 9eqbrtrd 4059 . . . . . . 7
115, 10expcnv 12338 . . . . . 6
12 geomcau.4 . . . . . . . 8
13 1re 8853 . . . . . . . . . 10
14 resubcl 9127 . . . . . . . . . 10
1513, 6, 14sylancr 644 . . . . . . . . 9
16 posdif 9283 . . . . . . . . . . 11
176, 13, 16sylancl 643 . . . . . . . . . 10
189, 17mpbid 201 . . . . . . . . 9
1915, 18elrpd 10404 . . . . . . . 8
2012, 19rerpdivcld 10433 . . . . . . 7
2120recnd 8877 . . . . . 6
22 nnex 9768 . . . . . . . 8
2322mptex 5762 . . . . . . 7
2423a1i 10 . . . . . 6
25 nnnn0 9988 . . . . . . . . 9
2625adantl 452 . . . . . . . 8
27 oveq2 5882 . . . . . . . . 9
28 eqid 2296 . . . . . . . . 9
29 ovex 5899 . . . . . . . . 9
3027, 28, 29fvmpt 5618 . . . . . . . 8
3126, 30syl 15 . . . . . . 7
32 nnz 10061 . . . . . . . . 9
33 rpexpcl 11138 . . . . . . . . 9
344, 32, 33syl2an 463 . . . . . . . 8
3534rpcnd 10408 . . . . . . 7
3631, 35eqeltrd 2370 . . . . . 6
3721adantr 451 . . . . . . . 8
3835, 37mulcomd 8872 . . . . . . 7
3927oveq1d 5889 . . . . . . . . 9
40 eqid 2296 . . . . . . . . 9
41 ovex 5899 . . . . . . . . 9
4239, 40, 41fvmpt 5618 . . . . . . . 8
4342adantl 452 . . . . . . 7
4431oveq2d 5890 . . . . . . 7
4538, 43, 443eqtr4d 2338 . . . . . 6
461, 3, 11, 21, 24, 36, 45climmulc2 12126 . . . . 5
4721mul01d 9027 . . . . 5
4846, 47breqtrd 4063 . . . 4
4934rpred 10406 . . . . . . 7
5020adantr 451 . . . . . . 7
5149, 50remulcld 8879 . . . . . 6
5251recnd 8877 . . . . 5
531, 3, 24, 43, 52clim0c 11997 . . . 4
5448, 53mpbid 201 . . 3
55 nnz 10061 . . . . . . . 8
5655adantl 452 . . . . . . 7
57 uzid 10258 . . . . . . 7
58 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11
5958oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10
6059fveq2d 5545 . . . . . . . . 9
6160breq1d 4049 . . . . . . . 8
6261rspcv 2893 . . . . . . 7
6356, 57, 623syl 18 . . . . . 6
64 lmclim2.2 . . . . . . . . . . . . 13
6564adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
66 lmclim2.3 . . . . . . . . . . . . 13
67 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13
68 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13
6966, 67, 68syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12
701uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . 13
71 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13
7266, 70, 71syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12
73 metcl 17913 . . . . . . . . . . . 12
7465, 69, 72, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
75 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
76 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14
7877nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . 13
79 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15
81 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15
82 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15
8380, 81, 82fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . 14
8483adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
8512ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15
866ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
87 eluznn0 10304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8877, 87sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8986, 88reexpcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . 15
9085, 89remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . 14
9190recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13
9212recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9392adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
945adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9510adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
96 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
97 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9879, 96, 97fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9998adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10094, 95, 77, 99geolim2 12343 . . . . . . . . . . . . . . 15
10189recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10299, 101eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . 15
10399oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10484, 103eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . 15
10575, 78, 93, 100, 102, 104isermulc2 12147 . . . . . . . . . . . . . 14
1064adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107106, 78rpexpcld 11284 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108107rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . 15
10915recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110109adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
11119rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112111adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
11393, 108, 110, 112div12d 9588 . . . . . . . . . . . . . 14
114105, 113breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . 13
11575, 78, 84, 91, 114isumclim 12236 . . . . . . . . . . . 12
116 seqex 11064 . . . . . . . . . . . . . . 15
117 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15
118116, 117breldm 4899 . . . . . . . . . . . . . 14
119105, 118syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
12075, 78, 84, 90, 119isumrecl 12244 . . . . . . . . . . . 12
121115, 120eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . 11
122121recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12
123122abscld 11934 . . . . . . . . . . 11
124 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . . . 14
125 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15
126 elfzuz 10810 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1281uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129127, 128sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130126, 129sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15
13164adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13366, 132sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
134 peano2nn 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13666, 134, 135syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138131, 133, 136, 137syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15
139125, 130, 138syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
140124, 139fsumrecl 12223 . . . . . . . . . . . . 13
141 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14
142 elfzuz 10810 . . . . . . . . . . . . . . 15
143 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144143, 129, 133syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15
145142, 144sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14
14665, 141, 145mettrifi 26576 . . . . . . . . . . . . 13
147126, 90sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15
148124, 147fsumrecl 12223 . . . . . . . . . . . . . 14
149 geomcau.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150125, 130, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15
151124, 139, 147, 150fsumle 12273 . . . . . . . . . . . . . 14
152 fzssuz 10848 . . . . . . . . . . . . . . . 16
153152a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
154 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
155154a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
156 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
157 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1584, 156, 157syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159138, 158rerpdivcld 10433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16012adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
161 metge0 17926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
162131, 133, 136, 161syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
163138, 158, 162divge0d 10442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
164138, 160, 158ledivmul2d 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
165149, 164mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
166155, 159, 160, 163, 165letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
167143, 129, 166syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16
168143, 129, 158syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
169168rpge0d 10410 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17085, 89, 167, 169mulge0d 9365 . . . . . . . . . . . . . . 15
17175, 78, 124, 153, 84, 90, 170, 119isumless 12320 . . . . . . . . . . . . . 14
172140, 148, 120, 151, 171letrd 8989 . . . . . . . . . . . . 13
17374, 140, 120, 146, 172letrd 8989 . . . . . . . . . . . 12
174173, 115breqtrd 4063 . . . . . . . . . . 11
175121leabsd 11913 . . . . . . . . . . 11
17674, 121, 123, 174, 175letrd 8989 . . . . . . . . . 10
177176adantlr 695 . . . . . . . . 9
17874adantlr 695 . . . . . . . . . 10
179123adantlr 695 . . . . . . . . . 10
180 rpre 10376 . . . . . . . . . . 11
181180ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10
182 lelttr 8928 . . . . . . . . . 10
183178, 179, 181, 182syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
184177, 183mpand 656 . . . . . . . 8
185184anassrs 629 . . . . . . 7
186185ralrimdva 2646 . . . . . 6
18763, 186syld 40 . . . . 5
188187reximdva 2668 . . . 4
189188ralimdva 2634 . . 3
19054, 189mpd 14 . 2
191 metxmet 17915 . . . 4
19264, 191syl 15 . . 3
193 eqidd 2297 . . 3
194 eqidd 2297 . . 3
1951, 192, 3, 193, 194, 66iscauf 18722 . 2
196190, 195mpbird 223 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   wss 3165   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cdm 4705  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  crp 10370  cfz 10798   cseq 11062  cexp 11120  cabs 11735   cli 11974  csu 12174  cxmt 16385  cme 16386  cca 18695 This theorem is referenced by:  bfplem1  26649 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-cau 18698
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