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Theorem geomcau 26475
Description: If the distance between consecutive points in a sequence is bounded by a geometric sequence, then the sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim2.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lmclim2.3  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
geomcau.4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
geomcau.5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
geomcau.6  |-  ( ph  ->  B  <  1 )
geomcau.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( B ^ k ) ) )
Assertion
Ref Expression
geomcau  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Distinct variable groups:    D, k    k, F    k, X    A, k    B, k    ph, k

Proof of Theorem geomcau
Dummy variables  j  n  x  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10263 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10053 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 geomcau.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
54rpcnd 10392 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
64rpred 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
74rpge0d 10394 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
86, 7absidd 11905 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  =  B )
9 geomcau.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  <  1 )
108, 9eqbrtrd 4043 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  <  1 )
115, 10expcnv 12322 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN0  |->  ( B ^ m ) )  ~~>  0 )
12 geomcau.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
13 1re 8837 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
14 resubcl 9111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  -  B
)  e.  RR )
1513, 6, 14sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  e.  RR )
16 posdif 9267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( B  <  1  <->  0  <  ( 1  -  B ) ) )
176, 13, 16sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  <  1  <->  0  <  ( 1  -  B ) ) )
189, 17mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  B ) )
1915, 18elrpd 10388 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  e.  RR+ )
2012, 19rerpdivcld 10417 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
1  -  B ) )  e.  RR )
2120recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
1  -  B ) )  e.  CC )
22 nnex 9752 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
2322mptex 5746 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^ m )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) ) )  e.  _V
2423a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^
m )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  e.  _V )
25 nnnn0 9972 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
2625adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
27 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( B ^ m )  =  ( B ^ n
) )
28 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  |->  ( B ^ m ) )  =  ( m  e. 
NN0  |->  ( B ^
m ) )
29 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( B ^ n )  e. 
_V
3027, 28, 29fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( B ^ m ) ) `
 n )  =  ( B ^ n
) )
3126, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( B ^ m ) ) `
 n )  =  ( B ^ n
) )
32 nnz 10045 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
33 rpexpcl 11122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( B ^ n )  e.  RR+ )
344, 32, 33syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( B ^ n )  e.  RR+ )
3534rpcnd 10392 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( B ^ n )  e.  CC )
3631, 35eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( B ^ m ) ) `
 n )  e.  CC )
3721adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A  /  ( 1  -  B ) )  e.  CC )
3835, 37mulcomd 8856 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( B ^ n )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) )  =  ( ( A  / 
( 1  -  B
) )  x.  ( B ^ n ) ) )
3927oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( B ^ m
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) )  =  ( ( B ^ n )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )
40 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^ m )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^ m )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )
41 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B ^ n )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) )  e. 
_V
4239, 40, 41fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( B ^
m )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) ) `  n )  =  ( ( B ^ n )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )
4342adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^ m
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) ) `  n )  =  ( ( B ^ n )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )
4431oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( 1  -  B ) )  x.  ( ( m  e.  NN0  |->  ( B ^ m ) ) `
 n ) )  =  ( ( A  /  ( 1  -  B ) )  x.  ( B ^ n
) ) )
4538, 43, 443eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^ m
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) ) `  n )  =  ( ( A  /  ( 1  -  B ) )  x.  ( ( m  e. 
NN0  |->  ( B ^
m ) ) `  n ) ) )
461, 3, 11, 21, 24, 36, 45climmulc2 12110 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^
m )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  ~~>  ( ( A  /  ( 1  -  B ) )  x.  0 ) )
4721mul01d 9011 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 1  -  B
) )  x.  0 )  =  0 )
4846, 47breqtrd 4047 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^
m )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  ~~>  0 )
4934rpred 10390 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( B ^ n )  e.  RR )
5020adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A  /  ( 1  -  B ) )  e.  RR )
5149, 50remulcld 8863 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( B ^ n )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) )  e.  RR )
5251recnd 8861 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( B ^ n )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) )  e.  CC )
531, 3, 24, 43, 52clim0c 11981 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( B ^ m )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )  ~~>  0  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( B ^ n
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x ) )
5448, 53mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( B ^
n )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x )
55 nnz 10045 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
5655adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
57 uzid 10242 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
58 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  ( B ^ n )  =  ( B ^ j
) )
5958oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
( B ^ n
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) )  =  ( ( B ^ j )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )
6059fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( abs `  ( ( B ^ n )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )  =  ( abs `  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) ) )
6160breq1d 4033 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  (
( abs `  (
( B ^ n
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( B ^
j )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x ) )
6261rspcv 2880 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( B ^
n )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x  -> 
( abs `  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x ) )
6356, 57, 623syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( B ^ n )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) ) )  <  x  ->  ( abs `  ( ( B ^ j )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )  < 
x ) )
64 lmclim2.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
6564adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
66 lmclim2.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
67 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
j  e.  NN )
68 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> X  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j
)  e.  X )
6966, 67, 68syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  j )  e.  X )
701uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  n  e.  NN )
71 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> X  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  X )
7266, 70, 71syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  n )  e.  X )
73 metcl 17897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X )  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 n ) )  e.  RR )
7465, 69, 72, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 n ) )  e.  RR )
75 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  j )  =  (
ZZ>= `  j )
76 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
7776ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  e.  NN0 )
7877nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  e.  ZZ )
79 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  k  ->  ( B ^ m )  =  ( B ^ k
) )
8079oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  k  ->  ( A  x.  ( B ^ m ) )  =  ( A  x.  ( B ^ k ) ) )
81 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( A  x.  ( B ^ m ) ) )  =  ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( A  x.  ( B ^
m ) ) )
82 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  x.  ( B ^
k ) )  e. 
_V
8380, 81, 82fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
m  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( A  x.  ( B ^
m ) ) ) `
 k )  =  ( A  x.  ( B ^ k ) ) )
8483adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( A  x.  ( B ^ m ) ) ) `  k
)  =  ( A  x.  ( B ^
k ) ) )
8512ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  A  e.  RR )
866ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  B  e.  RR )
87 eluznn0 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN0 )
8877, 87sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  k  e.  NN0 )
8986, 88reexpcld 11262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( B ^
k )  e.  RR )
9085, 89remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( A  x.  ( B ^ k ) )  e.  RR )
9190recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( A  x.  ( B ^ k ) )  e.  CC )
9212recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
9392adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  A  e.  CC )
945adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  B  e.  CC )
9510adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  B )  <  1 )
96 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( B ^
m ) )  =  ( m  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( B ^ m ) )
97 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B ^ k )  e. 
_V
9879, 96, 97fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
m  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( B ^ m ) ) `
 k )  =  ( B ^ k
) )
9998adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( B ^
m ) ) `  k )  =  ( B ^ k ) )
10094, 95, 77, 99geolim2 12327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  seq  j (  +  , 
( m  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( B ^ m ) ) )  ~~>  ( ( B ^ j )  /  ( 1  -  B ) ) )
10189recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( B ^
k )  e.  CC )
10299, 101eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( B ^
m ) ) `  k )  e.  CC )
10399oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( A  x.  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( B ^ m
) ) `  k
) )  =  ( A  x.  ( B ^ k ) ) )
10484, 103eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( A  x.  ( B ^ m ) ) ) `  k
)  =  ( A  x.  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  |->  ( B ^
m ) ) `  k ) ) )
10575, 78, 93, 100, 102, 104isermulc2 12131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  seq  j (  +  , 
( m  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( A  x.  ( B ^ m ) ) ) )  ~~>  ( A  x.  ( ( B ^ j )  / 
( 1  -  B
) ) ) )
1064adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  B  e.  RR+ )
107106, 78rpexpcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( B ^ j )  e.  RR+ )
108107rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( B ^ j )  e.  CC )
10915recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  e.  CC )
110109adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
1  -  B )  e.  CC )
11119rpne0d 10395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  =/=  0 )
112111adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
1  -  B )  =/=  0 )
11393, 108, 110, 112div12d 9572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( A  x.  ( ( B ^ j )  / 
( 1  -  B
) ) )  =  ( ( B ^
j )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )
114105, 113breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  seq  j (  +  , 
( m  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( A  x.  ( B ^ m ) ) ) )  ~~>  ( ( B ^ j )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) ) )
11575, 78, 84, 91, 114isumclim 12220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( B ^ j )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )
116 seqex 11048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  seq  j
(  +  ,  ( m  e.  ( ZZ>= `  j )  |->  ( A  x.  ( B ^
m ) ) ) )  e.  _V
117 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  x.  ( ( B ^ j )  / 
( 1  -  B
) ) )  e. 
_V
118116, 117breldm 4883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  seq  j (  +  , 
( m  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( A  x.  ( B ^ m ) ) ) )  ~~>  ( A  x.  ( ( B ^ j )  / 
( 1  -  B
) ) )  ->  seq  j (  +  , 
( m  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( A  x.  ( B ^ m ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
119105, 118syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  seq  j (  +  , 
( m  e.  (
ZZ>= `  j )  |->  ( A  x.  ( B ^ m ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
12075, 78, 84, 90, 119isumrecl 12228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  ( B ^ k ) )  e.  RR )
121115, 120eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) )  e.  RR )
122121recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) )  e.  CC )
123122abscld 11918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  ( ( B ^ j )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )  e.  RR )
124 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j ... ( n  - 
1 ) )  e. 
Fin )
125 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  ( j ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ph )
126 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( j ... ( n  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
127 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  e.  NN )
1281uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
129127, 128sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  k  e.  NN )
130126, 129sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  ( j ... ( n  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
13164adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
132 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> X  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
13366, 132sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  X )
134 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
135 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> X  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X
)
13666, 134, 135syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  X )
137 metcl 17897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
138131, 133, 136, 137syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
139125, 130, 138syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  ( j ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
140124, 139fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  sum_ k  e.  ( j ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
141 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  j )
)
142 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( j ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
143 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ph )
144143, 129, 133syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
145142, 144sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  ( j ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
14665, 141, 145mettrifi 26473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 n ) )  <_  sum_ k  e.  ( j ... ( n  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
147126, 90sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  ( j ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( A  x.  ( B ^ k
) )  e.  RR )
148124, 147fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  sum_ k  e.  ( j ... (
n  -  1 ) ) ( A  x.  ( B ^ k ) )  e.  RR )
149 geomcau.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( B ^ k ) ) )
150125, 130, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  ( j ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( B ^ k ) ) )
151124, 139, 147, 150fsumle 12257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  sum_ k  e.  ( j ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( j ... (
n  -  1 ) ) ( A  x.  ( B ^ k ) ) )
152 fzssuz 10832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  j )
153152a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  j )
)
154 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
155154a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
156 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
157 rpexpcl 11122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( B ^ k )  e.  RR+ )
1584, 156, 157syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( B ^ k )  e.  RR+ )
159138, 158rerpdivcld 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  /  ( B ^
k ) )  e.  RR )
16012adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
161 metge0 17910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X )  -> 
0  <_  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
162131, 133, 136, 161syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
163138, 158, 162divge0d 10426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  /  ( B ^ k ) ) )
164138, 160, 158ledivmul2d 10440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  /  ( B ^ k ) )  <_  A  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( B ^ k ) ) ) )
165149, 164mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  /  ( B ^
k ) )  <_  A )
166155, 159, 160, 163, 165letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  A )
167143, 129, 166syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  0  <_  A
)
168143, 129, 158syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( B ^
k )  e.  RR+ )
169168rpge0d 10394 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  0  <_  ( B ^ k ) )
17085, 89, 167, 169mulge0d 9349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  0  <_  ( A  x.  ( B ^ k ) ) )
17175, 78, 124, 153, 84, 90, 170, 119isumless 12304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  sum_ k  e.  ( j ... (
n  -  1 ) ) ( A  x.  ( B ^ k ) )  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  ( B ^ k ) ) )
172140, 148, 120, 151, 171letrd 8973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  sum_ k  e.  ( j ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  ( B ^ k ) ) )
17374, 140, 120, 146, 172letrd 8973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 n ) )  <_  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( A  x.  ( B ^ k ) ) )
174173, 115breqtrd 4047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 n ) )  <_  ( ( B ^ j )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )
175121leabsd 11897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) )  <_  ( abs `  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) ) )
17674, 121, 123, 174, 175letrd 8973 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 n ) )  <_  ( abs `  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) ) )
177176adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  n
) )  <_  ( abs `  ( ( B ^ j )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) ) )
17874adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  n
) )  e.  RR )
179123adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  e.  RR )
180 rpre 10360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
181180ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  x  e.  RR )
182 lelttr 8912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( B ^ j )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( F `
 j ) D ( F `  n
) )  <_  ( abs `  ( ( B ^ j )  x.  ( A  /  (
1  -  B ) ) ) )  /\  ( abs `  ( ( B ^ j )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) ) )  <  x )  -> 
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x ) )
183178, 179, 181, 182syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  j
) D ( F `
 n ) )  <_  ( abs `  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  /\  ( abs `  ( ( B ^
j )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  n
) )  <  x
) )
184177, 183mpand 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( B ^
j )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x  -> 
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x ) )
185184anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( abs `  ( ( B ^
j )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x  -> 
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x ) )
186185ralrimdva 2633 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( abs `  (
( B ^ j
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  j
) D ( F `
 n ) )  <  x ) )
18763, 186syld 40 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( B ^ n )  x.  ( A  / 
( 1  -  B
) ) ) )  <  x  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x ) )
188187reximdva 2655 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( B ^ n
)  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x  ->  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  < 
x ) )
189188ralimdva 2621 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( B ^
n )  x.  ( A  /  ( 1  -  B ) ) ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x ) )
19054, 189mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  < 
x )
191 metxmet 17899 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
19264, 191syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
193 eqidd 2284 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( F `  n
) )
194 eqidd 2284 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  =  ( F `  j
) )
1951, 192, 3, 193, 194, 66iscauf 18706 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  n ) )  <  x ) )
196190, 195mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782    seq cseq 11046   ^cexp 11104   abscabs 11719    ~~> cli 11958   sum_csu 12158   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   Caucca 18679
This theorem is referenced by:  bfplem1  26546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-cau 18682
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