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Theorem geomulcvg 12332
Description: The geometric series converges even if it is multiplied by 
k to result in the larger series  k  x.  A ^
k. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
geomulcvg.1  |-  F  =  ( k  e.  NN0  |->  ( k  x.  ( A ^ k ) ) )
Assertion
Ref Expression
geomulcvg  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    F( k)

Proof of Theorem geomulcvg
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 geomulcvg.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( k  e.  NN0  |->  ( k  x.  ( A ^ k ) ) )
2 elnn0 9967 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  <->  ( k  e.  NN  \/  k  =  0 ) )
3 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  A  = 
0 )
43oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  ( A ^ k )  =  ( 0 ^ k
) )
5 0exp 11137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
0 ^ k )  =  0 )
64, 5sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^ k )  =  0 )
76oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( A ^ k ) )  =  ( k  x.  0 ) )
8 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
98adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
109mul01d 9011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
117, 10eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( A ^ k ) )  =  0 )
12 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
k  =  0 )
1312oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
( k  x.  ( A ^ k ) )  =  ( 0  x.  ( A ^ k
) ) )
14 simplll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  ->  A  e.  CC )
15 0nn0 9980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
1612, 15syl6eqel 2371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
k  e.  NN0 )
1714, 16expcld 11245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  CC )
1817mul02d 9010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
( 0  x.  ( A ^ k ) )  =  0 )
1913, 18eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
( k  x.  ( A ^ k ) )  =  0 )
2011, 19jaodan 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  (
k  e.  NN  \/  k  =  0 ) )  ->  ( k  x.  ( A ^ k
) )  =  0 )
212, 20sylan2b 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
k  x.  ( A ^ k ) )  =  0 )
2221mpteq2dva 4106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  ( k  e.  NN0  |->  ( k  x.  ( A ^ k
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  0 ) )
231, 22syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  F  =  ( k  e.  NN0  |->  0 ) )
24 fconstmpt 4732 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
X.  { 0 } )  =  ( k  e.  NN0  |->  0 )
25 nn0uz 10262 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2625xpeq1i 4709 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
X.  { 0 } )  =  ( (
ZZ>= `  0 )  X. 
{ 0 } )
2724, 26eqtr3i 2305 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  |->  0 )  =  ( ( ZZ>= ` 
0 )  X.  {
0 } )
2823, 27syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  F  =  ( ( ZZ>= `  0
)  X.  { 0 } ) )
2928seqeq3d 11054 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  =  seq  0
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  0 )  X.  { 0 } ) ) )
30 0z 10035 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
31 serclim0 12051 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  seq  0 (  +  , 
( ( ZZ>= `  0
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
3230, 31ax-mp 8 . . . 4  |-  seq  0
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  0 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  0
3329, 32syl6eqbr 4060 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  ~~>  0 )
34 seqex 11048 . . . 4  |-  seq  0
(  +  ,  F
)  e.  _V
35 c0ex 8832 . . . 4  |-  0  e.  _V
3634, 35breldm 4883 . . 3  |-  (  seq  0 (  +  ,  F )  ~~>  0  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
3733, 36syl 15 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
38 1re 8837 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3938a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  1  e.  RR )
40 abscl 11763 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
4140adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
42 peano2re 8985 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
4341, 42syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
4443rehalfcld 9958 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  e.  RR )
4544adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  e.  RR )
46 absrpcl 11773 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
4746adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
4845, 47rerpdivcld 10417 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) )  e.  RR )
4941recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
5049mulid2d 8853 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  x.  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
51 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  <  1 )
52 avglt1 9949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <  1  <->  ( abs `  A )  <  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ) )
5341, 38, 52sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  A
)  <  1  <->  ( abs `  A )  <  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ) )
5451, 53mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  <  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )
5550, 54eqbrtrd 4043 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  x.  ( abs `  A ) )  <  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) )
5655adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( 1  x.  ( abs `  A
) )  <  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )
5739, 45, 47ltmuldivd 10433 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
1  x.  ( abs `  A ) )  < 
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  <->  1  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) ) ) )
5856, 57mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  1  <  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) )
59 expmulnbnd 11233 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 )  /  ( abs `  A ) )  e.  RR  /\  1  <  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 )  /  ( abs `  A ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( 1  x.  k
)  <  ( (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) ^ k
) )
6039, 48, 58, 59syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  E. n  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( 1  x.  k
)  <  ( (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) ^ k
) )
61 eluznn0 10288 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN0 )
62 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
6362adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  CC )
6463mulid2d 8853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
1  x.  k )  =  k )
6544recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
6665ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
6749ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
6847adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
6968rpne0d 10395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  =/=  0 )
70 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
7166, 67, 69, 70expdivd 11259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 )  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  =  ( ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  /  (
( abs `  A
) ^ k ) ) )
7264, 71breq12d 4036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( 1  x.  k
)  <  ( (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) ^ k
)  <->  k  <  (
( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
)  /  ( ( abs `  A ) ^ k ) ) ) )
73 nn0re 9974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
7473adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
75 reexpcl 11120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ k )  e.  RR )
7645, 75sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ k )  e.  RR )
7741adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
78 reexpcl 11120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ k )  e.  RR )
7977, 78sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( abs `  A
) ^ k )  e.  RR )
8077adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
81 nn0z 10046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
8281adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
8368rpgt0d 10393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  ( abs `  A
) )
84 expgt0 11135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  k  e.  ZZ  /\  0  <  ( abs `  A
) )  ->  0  <  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
8580, 82, 83, 84syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
86 ltmuldiv 9626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR  /\  ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  A ) ^ k
) ) )  -> 
( ( k  x.  ( ( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  <->  k  <  ( ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
)  /  ( ( abs `  A ) ^ k ) ) ) )
8774, 76, 79, 85, 86syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  <->  k  <  ( ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
)  /  ( ( abs `  A ) ^ k ) ) ) )
8872, 87bitr4d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( 1  x.  k
)  <  ( (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) ^ k
)  <->  ( k  x.  ( ( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )
8961, 88sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  (
n  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )  ->  ( ( 1  x.  k )  < 
( ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) ) ^ k
)  <->  ( k  x.  ( ( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )
9089anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  /\  A  =/=  0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
1  x.  k )  <  ( ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) ) ^ k
)  <->  ( k  x.  ( ( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )
9190ralbidva 2559 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( 1  x.  k )  <  ( ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) ) ^ k
)  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( k  x.  ( ( abs `  A ) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )
92 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
93 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ k )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ m
) )
94 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
) )
95 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m )  e.  _V
9693, 94, 95fvmpt 5602 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ m ) )
9796adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ m ) )
9844ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 )  e.  RR )
99 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
10098, 99reexpcld 11262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m )  e.  RR )
10197, 100eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m )  e.  RR )
102 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  k  =  m )
103 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  ( A ^ k )  =  ( A ^ m
) )
104102, 103oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
k  x.  ( A ^ k ) )  =  ( m  x.  ( A ^ m
) ) )
105 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  x.  ( A ^
m ) )  e. 
_V
106104, 1, 105fvmpt 5602 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( F `
 m )  =  ( m  x.  ( A ^ m ) ) )
107106adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( F `  m )  =  ( m  x.  ( A ^ m ) ) )
108 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  CC )
109108adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
110 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  A  e.  CC )
111 expcl 11121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( A ^ m
)  e.  CC )
112110, 111sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A ^
m )  e.  CC )
113109, 112mulcld 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( m  x.  ( A ^ m
) )  e.  CC )
114107, 113eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
115 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
116115a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
0  e.  RR )
117 absge0 11772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
118117adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
0  <_  ( abs `  A ) )
119116, 41, 44, 118, 54lelttrd 8974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
0  <  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )
120116, 44, 119ltled 8967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
0  <_  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )
12144, 120absidd 11905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) )
122 avglt2 9950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <  1  <->  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  <  1 ) )
12341, 38, 122sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  A
)  <  1  <->  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  <  1 ) )
12451, 123mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  <  1 )
125121, 124eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )  <  1 )
126 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ k )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ n
) )
127 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
n )  e.  _V
128126, 94, 127fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  n )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ n ) )
129128adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  n )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ n ) )
13065, 125, 129geolim 12326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ) ) )
131 seqex 11048 . . . . . . . . . . 11  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  e.  _V
132 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 1  -  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ) )  e.  _V
133131, 132breldm 4883 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ) )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
134130, 133syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
135134adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  e.  dom  ~~>  )
13638a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  1  e.  RR )
137 eluznn0 10288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  n ) )  ->  m  e.  NN0 )
13892, 137sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  m  e.  NN0 )
139138nn0red 10019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  m  e.  RR )
140 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  A  e.  CC )
141140abscld 11918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
142141, 138reexpcld 11262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( abs `  A ) ^ m
)  e.  RR )
143139, 142remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) )  e.  RR )
144138, 100syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m )  e.  RR )
145 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( k  x.  ( ( abs `  A ) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) )
146 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  A
) ^ k )  =  ( ( abs `  A ) ^ m
) )
147102, 146oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
k  x.  ( ( abs `  A ) ^ k ) )  =  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) ) )
148147, 93breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  <->  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m ) ) )
149148rspccva 2883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( k  x.  ( ( abs `  A ) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m ) )
150145, 149sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m ) )
151143, 144, 150ltled 8967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) )  <_  ( (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m ) )
152138nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  m  e.  CC )
153140, 138expcld 11245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( A ^
m )  e.  CC )
154152, 153absmuld 11936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  (
m  x.  ( A ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  m )  x.  ( abs `  ( A ^ m ) ) ) )
155138nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  0  <_  m
)
156139, 155absidd 11905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  m
)  =  m )
157140, 138absexpd 11934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  ( A ^ m ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ m
) )
158156, 157oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( abs `  m )  x.  ( abs `  ( A ^
m ) ) )  =  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) ) )
159154, 158eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  (
m  x.  ( A ^ m ) ) )  =  ( m  x.  ( ( abs `  A ) ^ m
) ) )
160144recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m )  e.  CC )
161160mulid2d 8853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( 1  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ m ) )
162151, 159, 1613brtr4d 4053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  (
m  x.  ( A ^ m ) ) )  <_  ( 1  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m ) ) )
163138, 106syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( F `  m )  =  ( m  x.  ( A ^ m ) ) )
164163fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  ( F `  m )
)  =  ( abs `  ( m  x.  ( A ^ m ) ) ) )
165138, 96syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ m ) )
166165oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( 1  x.  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m ) )  =  ( 1  x.  (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ m ) ) )
167162, 164, 1663brtr4d 4053 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  ( F `  m )
)  <_  ( 1  x.  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m ) ) )
16825, 92, 101, 114, 135, 136, 167cvgcmpce 12276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
169168expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
170169adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( k  x.  ( ( abs `  A ) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
17191, 170sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( 1  x.  k )  <  ( ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) ) ^ k
)  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  ) )
172171rexlimdva 2667 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( E. n  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( 1  x.  k
)  <  ( (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) ^ k
)  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  ) )
17360, 172mpd 14 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
17437, 173pm2.61dane 2524 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354    seq cseq 11046   ^cexp 11104   abscabs 11719    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  radcnvlem1  19789
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159
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