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Theorem geomulcvg 12348
Description: The geometric series converges even if it is multiplied by 
k to result in the larger series  k  x.  A ^
k. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
geomulcvg.1  |-  F  =  ( k  e.  NN0  |->  ( k  x.  ( A ^ k ) ) )
Assertion
Ref Expression
geomulcvg  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    F( k)

Proof of Theorem geomulcvg
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 geomulcvg.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( k  e.  NN0  |->  ( k  x.  ( A ^ k ) ) )
2 elnn0 9983 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  <->  ( k  e.  NN  \/  k  =  0 ) )
3 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  A  = 
0 )
43oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  ( A ^ k )  =  ( 0 ^ k
) )
5 0exp 11153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
0 ^ k )  =  0 )
64, 5sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^ k )  =  0 )
76oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( A ^ k ) )  =  ( k  x.  0 ) )
8 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
98adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
109mul01d 9027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
117, 10eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( A ^ k ) )  =  0 )
12 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
k  =  0 )
1312oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
( k  x.  ( A ^ k ) )  =  ( 0  x.  ( A ^ k
) ) )
14 simplll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  ->  A  e.  CC )
15 0nn0 9996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
1612, 15syl6eqel 2384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
k  e.  NN0 )
1714, 16expcld 11261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  CC )
1817mul02d 9026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
( 0  x.  ( A ^ k ) )  =  0 )
1913, 18eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  =  0 )  -> 
( k  x.  ( A ^ k ) )  =  0 )
2011, 19jaodan 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  (
k  e.  NN  \/  k  =  0 ) )  ->  ( k  x.  ( A ^ k
) )  =  0 )
212, 20sylan2b 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  = 
0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
k  x.  ( A ^ k ) )  =  0 )
2221mpteq2dva 4122 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  ( k  e.  NN0  |->  ( k  x.  ( A ^ k
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  0 ) )
231, 22syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  F  =  ( k  e.  NN0  |->  0 ) )
24 fconstmpt 4748 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
X.  { 0 } )  =  ( k  e.  NN0  |->  0 )
25 nn0uz 10278 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2625xpeq1i 4725 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
X.  { 0 } )  =  ( (
ZZ>= `  0 )  X. 
{ 0 } )
2724, 26eqtr3i 2318 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  |->  0 )  =  ( ( ZZ>= ` 
0 )  X.  {
0 } )
2823, 27syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  F  =  ( ( ZZ>= `  0
)  X.  { 0 } ) )
2928seqeq3d 11070 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  =  seq  0
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  0 )  X.  { 0 } ) ) )
30 0z 10051 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
31 serclim0 12067 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  seq  0 (  +  , 
( ( ZZ>= `  0
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
3230, 31ax-mp 8 . . . 4  |-  seq  0
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  0 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  0
3329, 32syl6eqbr 4076 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  ~~>  0 )
34 seqex 11064 . . . 4  |-  seq  0
(  +  ,  F
)  e.  _V
35 c0ex 8848 . . . 4  |-  0  e.  _V
3634, 35breldm 4899 . . 3  |-  (  seq  0 (  +  ,  F )  ~~>  0  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
3733, 36syl 15 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =  0 )  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
38 1re 8853 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3938a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  1  e.  RR )
40 abscl 11779 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
4140adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
42 peano2re 9001 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
4341, 42syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
4443rehalfcld 9974 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  e.  RR )
4544adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  e.  RR )
46 absrpcl 11789 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
4746adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
4845, 47rerpdivcld 10433 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) )  e.  RR )
4941recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
5049mulid2d 8869 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  x.  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
51 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  <  1 )
52 avglt1 9965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <  1  <->  ( abs `  A )  <  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ) )
5341, 38, 52sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  A
)  <  1  <->  ( abs `  A )  <  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ) )
5451, 53mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  <  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )
5550, 54eqbrtrd 4059 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( 1  x.  ( abs `  A ) )  <  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) )
5655adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( 1  x.  ( abs `  A
) )  <  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )
5739, 45, 47ltmuldivd 10449 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
1  x.  ( abs `  A ) )  < 
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  <->  1  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) ) ) )
5856, 57mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  1  <  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) )
59 expmulnbnd 11249 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 )  /  ( abs `  A ) )  e.  RR  /\  1  <  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 )  /  ( abs `  A ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( 1  x.  k
)  <  ( (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) ^ k
) )
6039, 48, 58, 59syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  E. n  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( 1  x.  k
)  <  ( (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) ^ k
) )
61 eluznn0 10304 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN0 )
62 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
6362adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  CC )
6463mulid2d 8869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
1  x.  k )  =  k )
6544recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
6665ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
6749ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
6847adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
6968rpne0d 10411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  =/=  0 )
70 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
7166, 67, 69, 70expdivd 11275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 )  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  =  ( ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  /  (
( abs `  A
) ^ k ) ) )
7264, 71breq12d 4052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( 1  x.  k
)  <  ( (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) ^ k
)  <->  k  <  (
( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
)  /  ( ( abs `  A ) ^ k ) ) ) )
73 nn0re 9990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
7473adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
75 reexpcl 11136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ k )  e.  RR )
7645, 75sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ k )  e.  RR )
7741adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
78 reexpcl 11136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ k )  e.  RR )
7977, 78sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( abs `  A
) ^ k )  e.  RR )
8077adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
81 nn0z 10062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
8281adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
8368rpgt0d 10409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  ( abs `  A
) )
84 expgt0 11151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  k  e.  ZZ  /\  0  <  ( abs `  A
) )  ->  0  <  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
8580, 82, 83, 84syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
86 ltmuldiv 9642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR  /\  ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  A ) ^ k
) ) )  -> 
( ( k  x.  ( ( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  <->  k  <  ( ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
)  /  ( ( abs `  A ) ^ k ) ) ) )
8774, 76, 79, 85, 86syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  <->  k  <  ( ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
)  /  ( ( abs `  A ) ^ k ) ) ) )
8872, 87bitr4d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( 1  x.  k
)  <  ( (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) ^ k
)  <->  ( k  x.  ( ( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )
8961, 88sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  (
n  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )  ->  ( ( 1  x.  k )  < 
( ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) ) ^ k
)  <->  ( k  x.  ( ( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )
9089anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  /\  A  =/=  0 )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
1  x.  k )  <  ( ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) ) ^ k
)  <->  ( k  x.  ( ( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )
9190ralbidva 2572 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( 1  x.  k )  <  ( ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) ) ^ k
)  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( k  x.  ( ( abs `  A ) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )
92 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
93 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ k )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ m
) )
94 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
) )
95 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m )  e.  _V
9693, 94, 95fvmpt 5618 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ m ) )
9796adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ m ) )
9844ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 )  e.  RR )
99 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
10098, 99reexpcld 11278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m )  e.  RR )
10197, 100eqeltrd 2370 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m )  e.  RR )
102 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  k  =  m )
103 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  ( A ^ k )  =  ( A ^ m
) )
104102, 103oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
k  x.  ( A ^ k ) )  =  ( m  x.  ( A ^ m
) ) )
105 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  x.  ( A ^
m ) )  e. 
_V
106104, 1, 105fvmpt 5618 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( F `
 m )  =  ( m  x.  ( A ^ m ) ) )
107106adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( F `  m )  =  ( m  x.  ( A ^ m ) ) )
108 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  CC )
109108adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
110 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  A  e.  CC )
111 expcl 11137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( A ^ m
)  e.  CC )
112110, 111sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A ^
m )  e.  CC )
113109, 112mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( m  x.  ( A ^ m
) )  e.  CC )
114107, 113eqeltrd 2370 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
115 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
116115a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
0  e.  RR )
117 absge0 11788 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
118117adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
0  <_  ( abs `  A ) )
119116, 41, 44, 118, 54lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
0  <  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )
120116, 44, 119ltled 8983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
0  <_  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )
12144, 120absidd 11921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) )
122 avglt2 9966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  A
)  <  1  <->  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  <  1 ) )
12341, 38, 122sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  A
)  <  1  <->  ( (
( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  <  1 ) )
12451, 123mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  <  1 )
125121, 124eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) )  <  1 )
126 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ k )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ n
) )
127 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
n )  e.  _V
128126, 94, 127fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  n )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ n ) )
129128adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  n )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ n ) )
13065, 125, 129geolim 12342 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ) ) )
131 seqex 11064 . . . . . . . . . . 11  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  e.  _V
132 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 1  -  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ) )  e.  _V
133131, 132breldm 4899 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
) ) )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ) )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
134130, 133syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ k
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
135134adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  e.  dom  ~~>  )
13638a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  1  e.  RR )
137 eluznn0 10304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  n ) )  ->  m  e.  NN0 )
13892, 137sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  m  e.  NN0 )
139138nn0red 10035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  m  e.  RR )
140 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  A  e.  CC )
141140abscld 11934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
142141, 138reexpcld 11278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( abs `  A ) ^ m
)  e.  RR )
143139, 142remulcld 8879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) )  e.  RR )
144138, 100syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m )  e.  RR )
145 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( k  x.  ( ( abs `  A ) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) )
146 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  A
) ^ k )  =  ( ( abs `  A ) ^ m
) )
147102, 146oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
k  x.  ( ( abs `  A ) ^ k ) )  =  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) ) )
148147, 93breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  <->  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m ) ) )
149148rspccva 2896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( k  x.  ( ( abs `  A ) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m ) )
150145, 149sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m ) )
151143, 144, 150ltled 8983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) )  <_  ( (
( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m ) )
152138nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  m  e.  CC )
153140, 138expcld 11261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( A ^
m )  e.  CC )
154152, 153absmuld 11952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  (
m  x.  ( A ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  m )  x.  ( abs `  ( A ^ m ) ) ) )
155138nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  0  <_  m
)
156139, 155absidd 11921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  m
)  =  m )
157140, 138absexpd 11950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  ( A ^ m ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ m
) )
158156, 157oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( abs `  m )  x.  ( abs `  ( A ^
m ) ) )  =  ( m  x.  ( ( abs `  A
) ^ m ) ) )
159154, 158eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  (
m  x.  ( A ^ m ) ) )  =  ( m  x.  ( ( abs `  A ) ^ m
) ) )
160144recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m )  e.  CC )
161160mulid2d 8869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( 1  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  / 
2 ) ^ m
) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ m ) )
162151, 159, 1613brtr4d 4069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  (
m  x.  ( A ^ m ) ) )  <_  ( 1  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
m ) ) )
163138, 106syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( F `  m )  =  ( m  x.  ( A ^ m ) ) )
164163fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  ( F `  m )
)  =  ( abs `  ( m  x.  ( A ^ m ) ) ) )
165138, 96syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ m ) )
166165oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( 1  x.  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m ) )  =  ( 1  x.  (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 ) ^ m ) ) )
167162, 164, 1663brtr4d 4069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  ( n  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  ( F `  m )
)  <_  ( 1  x.  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) `  m ) ) )
16825, 92, 101, 114, 135, 136, 167cvgcmpce 12292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  ( n  e. 
NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k ) ) )  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
169168expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( k  x.  (
( abs `  A
) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
170169adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( k  x.  ( ( abs `  A ) ^ k ) )  <  ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 ) ^
k )  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
17191, 170sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1
)  /\  A  =/=  0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( 1  x.  k )  <  ( ( ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  /  2 )  / 
( abs `  A
) ) ^ k
)  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  ) )
172171rexlimdva 2680 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( E. n  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( 1  x.  k
)  <  ( (
( ( ( abs `  A )  +  1 )  /  2 )  /  ( abs `  A
) ) ^ k
)  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  ) )
17360, 172mpd 14 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A
)  <  1 )  /\  A  =/=  0
)  ->  seq  0
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
17437, 173pm2.61dane 2537 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370    seq cseq 11062   ^cexp 11120   abscabs 11735    ~~> cli 11974
This theorem is referenced by:  radcnvlem1  19805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175
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