MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoserg Structured version   Unicode version

Theorem geoserg 12646
Description: The value of the finite geometric series  A ^ M  +  A ^ ( M  +  1 )  +...  +  A ^
( N  -  1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
geoserg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
geoserg.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  1 )
geoserg.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
geoserg.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
geoserg  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  =  ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, M    k, N    ph, k

Proof of Theorem geoserg
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 11314 . . . . . 6  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
3 ax-1cn 9049 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
4 geoserg.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 subcl 9306 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
63, 4, 5sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
74adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A  e.  CC )
8 geoserg.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
9 elfzouz 11145 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10 eluznn0 10547 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
118, 9, 10syl2an 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  NN0 )
127, 11expcld 11524 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A ^
k )  e.  CC )
132, 6, 12fsummulc1 12569 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A ) )  = 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  x.  ( 1  -  A ) ) )
143a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  1  e.  CC )
1512, 14, 7subdid 9490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A
) )  =  ( ( ( A ^
k )  x.  1 )  -  ( ( A ^ k )  x.  A ) ) )
1612mulid1d 9106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  1 )  =  ( A ^ k ) )
177, 11expp1d 11525 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
1817eqcomd 2442 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  A )  =  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )
1916, 18oveq12d 6100 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( A ^ k )  x.  1 )  -  ( ( A ^
k )  x.  A
) )  =  ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2015, 19eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A
) )  =  ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2120sumeq2dv 12498 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  x.  ( 1  -  A ) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) ) )
22 oveq2 6090 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ k
) )
23 oveq2 6090 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )
24 oveq2 6090 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ M
) )
25 oveq2 6090 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ N
) )
26 geoserg.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
274adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
28 elfzuz 11056 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( M ... N )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
29 eluznn0 10547 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
j  e.  NN0 )
308, 28, 29syl2an 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  j  e.  NN0 )
3127, 30expcld 11524 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  ( A ^ j )  e.  CC )
3222, 23, 24, 25, 26, 31fsumtscopo 12582 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) ) )
3313, 21, 323eqtrrd 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k
)  x.  ( 1  -  A ) ) )
344, 8expcld 11524 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  e.  CC )
35 eluznn0 10547 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  N  e.  NN0 )
368, 26, 35syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
374, 36expcld 11524 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
3834, 37subcld 9412 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  e.  CC )
392, 12fsumcl 12528 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  e.  CC )
40 geoserg.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  1 )
4140necomd 2688 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  =/=  A )
42 subeq0 9328 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
433, 4, 42sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
4443necon3bid 2637 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  A )  =/=  0  <->  1  =/=  A ) )
4541, 44mpbird 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  =/=  0 )
4638, 39, 6, 45divmul3d 9825 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  <->  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A
) ) ) )
4733, 46mpbird 225 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  /  ( 1  -  A ) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k ) )
4847eqcomd 2442 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  =  ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Fincfn 7110   CCcc 8989   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994    x. cmul 8996    - cmin 9292    / cdiv 9678   NN0cn0 10222   ZZ>=cuz 10489   ...cfz 11044  ..^cfzo 11136   ^cexp 11383   sum_csu 12480
This theorem is referenced by:  geoser  12647  rplogsumlem2  21180  rpvmasumlem  21182  dchrisum0flblem1  21203
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-rp 10614  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-sum 12481
  Copyright terms: Public domain W3C validator