MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoserg Unicode version

Theorem geoserg 12324
Description: The value of the finite geometric series  A ^ M  +  A ^ ( M  +  1 )  +...  +  A ^
( N  -  1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
geoserg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
geoserg.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  1 )
geoserg.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
geoserg.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
geoserg  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  =  ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, M    k, N    ph, k

Proof of Theorem geoserg
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 11036 . . . . . 6  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
21a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
3 ax-1cn 8795 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
4 geoserg.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 subcl 9051 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
63, 4, 5sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
74adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A  e.  CC )
8 geoserg.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
9 elfzouz 10879 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10 eluznn0 10288 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
118, 9, 10syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  NN0 )
127, 11expcld 11245 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A ^
k )  e.  CC )
132, 6, 12fsummulc1 12247 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A ) )  = 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  x.  ( 1  -  A ) ) )
143a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  1  e.  CC )
1512, 14, 7subdid 9235 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A
) )  =  ( ( ( A ^
k )  x.  1 )  -  ( ( A ^ k )  x.  A ) ) )
1612mulid1d 8852 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  1 )  =  ( A ^ k ) )
177, 11expp1d 11246 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
1817eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  A )  =  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )
1916, 18oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( A ^ k )  x.  1 )  -  ( ( A ^
k )  x.  A
) )  =  ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2015, 19eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A
) )  =  ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2120sumeq2dv 12176 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  x.  ( 1  -  A ) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) ) )
22 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ k
) )
23 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )
24 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ M
) )
25 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ N
) )
26 geoserg.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
274adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
28 elfzuz 10794 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( M ... N )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
29 eluznn0 10288 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
j  e.  NN0 )
308, 28, 29syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  j  e.  NN0 )
3127, 30expcld 11245 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  ( A ^ j )  e.  CC )
3222, 23, 24, 25, 26, 31fsumtscopo 12260 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) ) )
3313, 21, 323eqtrrd 2320 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k
)  x.  ( 1  -  A ) ) )
344, 8expcld 11245 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  e.  CC )
35 eluznn0 10288 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  N  e.  NN0 )
368, 26, 35syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
374, 36expcld 11245 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
3834, 37subcld 9157 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  e.  CC )
392, 12fsumcl 12206 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  e.  CC )
40 geoserg.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  1 )
4140necomd 2529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  =/=  A )
42 subeq0 9073 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
433, 4, 42sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
4443necon3bid 2481 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  A )  =/=  0  <->  1  =/=  A ) )
4541, 44mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  =/=  0 )
4638, 39, 6, 45divmul3d 9570 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  <->  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A
) ) ) )
4733, 46mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  /  ( 1  -  A ) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k ) )
4847eqcomd 2288 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  =  ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037    / cdiv 9423   NN0cn0 9965   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870   ^cexp 11104   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  geoser  12325  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrisum0flblem1  20657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator