MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoserg Unicode version

Theorem geoserg 12340
Description: The value of the finite geometric series  A ^ M  +  A ^ ( M  +  1 )  +...  +  A ^
( N  -  1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
geoserg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
geoserg.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  1 )
geoserg.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
geoserg.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
geoserg  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  =  ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, M    k, N    ph, k

Proof of Theorem geoserg
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 11052 . . . . . 6  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
21a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
3 ax-1cn 8811 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
4 geoserg.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 subcl 9067 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
63, 4, 5sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
74adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  A  e.  CC )
8 geoserg.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
9 elfzouz 10895 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10 eluznn0 10304 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
118, 9, 10syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  k  e.  NN0 )
127, 11expcld 11261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A ^
k )  e.  CC )
132, 6, 12fsummulc1 12263 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A ) )  = 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  x.  ( 1  -  A ) ) )
143a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  1  e.  CC )
1512, 14, 7subdid 9251 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A
) )  =  ( ( ( A ^
k )  x.  1 )  -  ( ( A ^ k )  x.  A ) ) )
1612mulid1d 8868 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  1 )  =  ( A ^ k ) )
177, 11expp1d 11262 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
1817eqcomd 2301 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  A )  =  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )
1916, 18oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( A ^ k )  x.  1 )  -  ( ( A ^
k )  x.  A
) )  =  ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2015, 19eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A
) )  =  ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2120sumeq2dv 12192 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  x.  ( 1  -  A ) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) ) )
22 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ k
) )
23 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )
24 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ M
) )
25 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ N
) )
26 geoserg.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
274adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
28 elfzuz 10810 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( M ... N )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
29 eluznn0 10304 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
j  e.  NN0 )
308, 28, 29syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  j  e.  NN0 )
3127, 30expcld 11261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  ( A ^ j )  e.  CC )
3222, 23, 24, 25, 26, 31fsumtscopo 12276 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( ( A ^ k
)  -  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) ) )
3313, 21, 323eqtrrd 2333 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k
)  x.  ( 1  -  A ) ) )
344, 8expcld 11261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  e.  CC )
35 eluznn0 10304 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  N  e.  NN0 )
368, 26, 35syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
374, 36expcld 11261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
3834, 37subcld 9173 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  e.  CC )
392, 12fsumcl 12222 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  e.  CC )
40 geoserg.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  1 )
4140necomd 2542 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  =/=  A )
42 subeq0 9089 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
433, 4, 42sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  A )  =  0  <->  1  =  A ) )
4443necon3bid 2494 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  A )  =/=  0  <->  1  =/=  A ) )
4541, 44mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  =/=  0 )
4638, 39, 6, 45divmul3d 9586 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  <->  ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  x.  ( 1  -  A
) ) ) )
4733, 46mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  /  ( 1  -  A ) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k ) )
4847eqcomd 2301 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A ^ k )  =  ( ( ( A ^ M )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053    / cdiv 9439   NN0cn0 9981   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798  ..^cfzo 10886   ^cexp 11120   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  geoser  12341  rplogsumlem2  20650  rpvmasumlem  20652  dchrisum0flblem1  20673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175
  Copyright terms: Public domain W3C validator