Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gex1 Structured version   Unicode version

Theorem gex1 15217
 Description: A group or monoid has exponent 1 iff it is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl2.1
gexcl2.2 gEx
Assertion
Ref Expression
gex1

Proof of Theorem gex1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 732 . . . . . . . . 9
21oveq1d 6088 . . . . . . . 8 .g .g
3 gexcl2.1 . . . . . . . . . 10
4 gexcl2.2 . . . . . . . . . 10 gEx
5 eqid 2435 . . . . . . . . . 10 .g .g
6 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
73, 4, 5, 6gexid 15207 . . . . . . . . 9 .g
87adantl 453 . . . . . . . 8 .g
93, 5mulg1 14889 . . . . . . . . 9 .g
109adantl 453 . . . . . . . 8 .g
112, 8, 103eqtr3rd 2476 . . . . . . 7
12 elsn 3821 . . . . . . 7
1311, 12sylibr 204 . . . . . 6
1413ex 424 . . . . 5
1514ssrdv 3346 . . . 4
163, 6mndidcl 14706 . . . . . 6
1716adantr 452 . . . . 5
1817snssd 3935 . . . 4
1915, 18eqssd 3357 . . 3
20 fvex 5734 . . . 4
2120ensn1 7163 . . 3
2219, 21syl6eqbr 4241 . 2
23 simpl 444 . . . 4
24 1nn 10003 . . . . 5
2524a1i 11 . . . 4
269adantl 453 . . . . . 6 .g
27 en1eqsn 7330 . . . . . . . . . 10
2816, 27sylan 458 . . . . . . . . 9
2928eleq2d 2502 . . . . . . . 8
3029biimpa 471 . . . . . . 7
3130, 12sylib 189 . . . . . 6
3226, 31eqtrd 2467 . . . . 5 .g
3332ralrimiva 2781 . . . 4 .g
343, 4, 5, 6gexlem2 15208 . . . 4 .g
3523, 25, 33, 34syl3anc 1184 . . 3
36 elfz1eq 11060 . . 3
3735, 36syl 16 . 2
3822, 37impbida 806 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  csn 3806   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  c1o 6709   cen 7098  c1 8983  cn 9992  cfz 11035  cbs 13461  c0g 13715  cmnd 14676  .gcmg 14681  gExcgex 15156 This theorem is referenced by:  pgpfac1lem3a  15626  pgpfaclem3  15633 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mulg 14807  df-gex 15160
 Copyright terms: Public domain W3C validator